Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: Элементарное иррациональное уравнение типа \(\displaystyle \sqrt{f(x)}=g(x)\)

Задание

Решите иррациональное уравнение (запишите множество корней через ";", если решений нет, то ответом явлется пустое множество):

\(\displaystyle \sqrt{x^2-3x-17}=-x-2\)

\(\displaystyle x\in \) Перетащите сюда правильный ответ

Решение

Правило

Иррациональное уравнение \(\displaystyle \sqrt{f(x)}=g(x)\) равносильно системе

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}f(x)&=g(x)^2{ \small ,}\\g(x)&\ge 0{\small .}\end{aligned}\right.\)

Воспользуемся данным правилом для уравнения \(\displaystyle \sqrt{x^2-3x-17}=-x-2{\small .}\)

Тогда уравнение \(\displaystyle \sqrt{x^2-3x-17}=-x-2\) равносильно системе

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x^2-3x-17&=(-x-2)^2{ \small ,}\\-x-2&\ge 0{\small .}\end{aligned}\right.\)

Решим первое уравнение в системе и проверим, какие из полученных решений удовлетворяют второму неравенству системы.

Уравнение \(\displaystyle x^2-3x-17=(-x-2)^2\) имеет решения \(\displaystyle x=-3{\small .}\)

\(\displaystyle x^2-3x-17=(-x-2)^2{ \small ,}\)

\(\displaystyle x^2-3x-17=x^2+4x+4{ \small ,}\)

\(\displaystyle 7x=-21{ \small ,}\)

\(\displaystyle x=-3{\small .}\)

Корень \(\displaystyle x=-3\) удовлетворяет неравенству \(\displaystyle -x-2\ge 0{ \small ,}\) так как 

\(\displaystyle -(-3)-2\ge 0{ \small ,}\)

\(\displaystyle 1\ge 0{\small .}\)
 

Таким образом, \(\displaystyle x=-3\)– решение иррационального уравнения.
 

Ответ: \(\displaystyle -3{\small .}\)