Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: 12 Значения, связанные с табличными

Задание

Найдите \(\displaystyle \cos\left(\frac{ 5\pi}{ 4 }\right) \) и \(\displaystyle \sin\left(\frac{ 5\pi}{ 4 }\right){\small .} \)

\(\displaystyle \cos\left(\frac{ 5\pi}{ 4 }\right)=\)
-\frac{\sqrt{2}}{2}

\(\displaystyle \sin\left(\frac{ 5\pi}{ 4 }\right)=\)
-\frac{\sqrt{2}}{2}
Решение

Выделим из  дроби \(\displaystyle \frac{ 5\pi}{ 4 }\) как целое число \(\displaystyle \pi{\small:}\)

\(\displaystyle \frac{ 5\pi}{ 4 }=\frac{4\pi+\pi}{4}=\frac{4\pi}{4}+\frac{\pi}{4}=\pi+\color{red}{\frac{\pi}{4}}{\small.}\)

Тогда нужно найти \(\displaystyle \cos\left(\pi+\color{red}{\frac{\pi}{4}}\right)\) и \(\displaystyle \sin\left(\pi+\color{red}{\frac{\pi}{4}}\right){\small.}\)


Пусть точка \(\displaystyle A\) имеет координаты \(\displaystyle \left(\cos\left(\color{red}{\frac{\pi}{4}}\right);\sin\left(\color{red}{\frac{\pi}{4}}\right)\right)\)

Будем строить новую точку \(\displaystyle A_1\) двумя способами.

1. Повернем точку \(\displaystyle A\) на \(\displaystyle \pi{\small.}\)

\(\displaystyle A\) имеет координаты \(\displaystyle \left(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right);\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)\small.\)

Значит, координаты новой точки \(\displaystyle A_1\) получаются добавлением \(\displaystyle \pi\) к углу для точки \(\displaystyle A\small:\)

\(\displaystyle \left(\cos\left(\pi+\frac{\pi}{4}\right);\sin\left(\pi+\frac{\pi}{4}\right)\right)\)

 

2. Снова повернем точку \(\displaystyle A\) на \(\displaystyle \pi{\small.}\)

\(\displaystyle A\) имеет координаты \(\displaystyle \left(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right);\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)\small.\)

Так как поворот на \(\displaystyle \pi\) – это центральная симметрия, то  точка \(\displaystyle A_1\) получит координаты точки \(\displaystyle A\small,\) взятыми со знаком минус:

\(\displaystyle \left(-\cos\left(\frac{\pi}{4}\right);-\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right){\small.}\)


Поскольку получали одну и ту же точку, то получили одни и те же координаты. То есть можно приравнять координаты из обоих вариантов:

  • \(\displaystyle \cos\left(\pi+\frac{\pi}{4}\right)=-\cos\left(\frac{\pi}{4}\right){\small;}\)
  • \(\displaystyle \sin\left(\pi+\frac{\pi}{4}\right)=-\sin\left(\frac{\pi}{4}\right){\small.}\)

Так как по таблице \(\displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\) и \(\displaystyle \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}{\small,}\) то

  • \(\displaystyle \cos\left(\pi+\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}{\small;}\)
  • \(\displaystyle \sin\left(\pi+\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}{\small.}\)


Таким образом, получаем:

  • \(\displaystyle \cos\left(\frac{5\pi}{4}\right)=\cos\left(\pi+\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}{\small;}\)
  • \(\displaystyle \sin\left(\frac{5\pi}{4}\right)=\sin\left(\pi+\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}{\small.}\)


Ответ:  \(\displaystyle \cos\left(\frac{5\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}\) и \(\displaystyle \sin\left(\frac{5\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}{\small.}\)