Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны \(\displaystyle 7\) и \(\displaystyle 4{ \small ,}\) а площадь его поверхности равна \(\displaystyle 166 {\small .}\) Найти длину третьего ребра, исходящего из той же вершины.
По условию известны длины двух ребер паралелепипеда и площадь его поверхности \(\displaystyle S_п=166 { \small .}\)
Требуется найти длину третьего ребра.
Пусть \(\displaystyle c \) – длина третьего ребра.
Площадь поверхности параллелепипеда \(\displaystyle S_п\)– это сумма площадей поверхности всех его граней.
Грани прямоугольного параллелепипеда – прямоугольники. Найдем их площади.
Верхняя и нижняя грани: \(\displaystyle S_1=7 \cdot 4\) | Фронтальная и задняя грани: \(\displaystyle S_2=7 \cdot c\) | Боковые грани: \(\displaystyle S_3=4 \cdot c\) |
Тогда площадь поверхности параллелепипеда
\(\displaystyle S_п=2S_1+2S_2+2S_3\)
или
\(\displaystyle S_п=2(S_1+S_2+S_3){\small .}\)
Подставляя найденные выражения для \(\displaystyle S_1 { \small ,} \, S_2 { \small ,} \, S_3 \) и \(\displaystyle S_п=166 { \small ,}\) получаем:
\(\displaystyle 166=2\cdot( 7 \cdot 4+7 \cdot c +4 \cdot c){ \small .}\)
Решим полученное уравнение и найдём \(\displaystyle c{ \small :}\)
\(\displaystyle 2\cdot( 28+11 \cdot c)=166\,\text{\Large |} : \color{red}{ 2}{ \small ,} \)
\(\displaystyle 28+11c=83{ \small ,} \)
\(\displaystyle 11c=55{ \small ,} \)
откуда
\(\displaystyle c=5{\small .} \)
Значит, длина третьего ребра параллелепипеда равна \(\displaystyle 5{\small .} \)
Ответ: \(\displaystyle 5{\small .}\)