Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: Нахождение квадрата разности - 1

Задание

Найдите квадрат разности:
 

\(\displaystyle x^{\, 2}-2xz+z^{\, 2}=\big(\)\(\displaystyle \big)^2\)

Решение

Первый способ.

Нам известно, что выражение \(\displaystyle x^{\,2}-2xz+z^{\, 2}\) является полным квадратом разности.

Правило

Квадрат разности

Для любых чисел \(\displaystyle a, \, b\) верно

\(\displaystyle a^{\, 2}-2ab+b^{\, 2}=(a-b\,)^2.\)

Наше выражение в точности совпадает с квадратом разности при \(\displaystyle a=x\) и \(\displaystyle b=z.\)

Поэтому 

\(\displaystyle x^{\,2}-2xz+z^{\, 2}=(x-z\,)^2.\)

Ответ: \(\displaystyle (x-z\,)^2.\)
 

Второй способ (нахождение квадрата разности по квадратам).

Нам известно, что выражение \(\displaystyle x^{\,2}-2xz+z^{\, 2}\) является полным квадратом разности.

Правило

Квадрат разности

Для любых чисел \(\displaystyle a, \, b\) верно

\(\displaystyle a^{\, 2}-2ab+b^{\, 2}=(a-b\,)^2.\)

Следовательно,

\(\displaystyle x^{\,2}-2xz+z^{\, 2}=a^{\, 2}-2ab+b^{\, 2}\)

для некоторых \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b,\) которые надо найти.

Приравняем выражения, стоящие во вторых степенях. Например,

\(\displaystyle \color{blue}{a^{\, 2}}-2ab+\color{green}{b^{\, 2}}=\color{blue}{x^{\,2}}-2xz+\color{green}{z^{\, 2}},\)

\(\displaystyle \color{blue}{a^{\,2}}=\color{blue}{x^{\, 2}}\) и \(\displaystyle \color{green}{b^{\,2}}=\color{green}{z^{\, 2}}.\)

Тогда \(\displaystyle a\) может быть \(\displaystyle x\) или \(\displaystyle -x,\) \(\displaystyle b\) может быть \(\displaystyle z\) или \(\displaystyle -z\) (см. соответствующее доказательство).

Выберем значения параметров \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) с одинаковыми знаками, например, со знаком "+":

\(\displaystyle a=x,\)

\(\displaystyle b=z.\)

Так как мы приравняли квадраты, то надо обязательно проверить, совпадают ли удвоенные произведения

\(\displaystyle a^{\, 2}-\color{red}{2ab}+b^{\, 2}=x^{\,2}-\color{red}{2xz}+z^{\, 2},\)

\(\displaystyle 2ab\overset{?}{=}2xz\)

при подстановке вместо \(\displaystyle a\) параметра \(\displaystyle x,\) а вместо \(\displaystyle b\) параметра \(\displaystyle z.\)

Подставляя, получаем:

\(\displaystyle 2ab=2\cdot x\cdot z,\)

\(\displaystyle 2ab=2xz.\)

Мы получили верное равенство, что означает правильность равенств \(\displaystyle a=x\) и \(\displaystyle b=z.\)

Поскольку

\(\displaystyle x^{\,2}-2xz+z^{\, 2}=a^{\, 2}-2ab+b^{\, 2},\)

\(\displaystyle x^{\,2}-2xz+z^{\, 2}=(a-b\,)^2,\)

то, подставляя \(\displaystyle a=x\) и \(\displaystyle b=z\) в скобки справа, получаем:

\(\displaystyle x^{\,2}-2xz+z^{\, 2}=(x-z\,)^2.\)

Ответ: \(\displaystyle (x-z\,)^2.\)