Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: Решение текстовых задач геометрического содержания с помощью системы линейного и нелинейного уравнений (короткая версия)

Задание

Периметр прямоугольника равен \(\displaystyle 42{\small,}\) а площадь \(\displaystyle 98{\small.}\) Найдите меньшую сторону прямоугольника.

 

Решение

Известны площадь прямоугольника и его периметр.

Требуется найти длину меньшей стороны.


1. Выберем неизвестное (неизвестные) и составим уравнение (уравнения).

Пусть \(\displaystyle x\) – длина меньшей стороны прямоугольника, а \(\displaystyle y\) – длина большей.

Поскольку по условию периметр прямоугольника равен \(\displaystyle 42{\small,}\) а его площадь равна \(\displaystyle 98{\small,}\) получаем систему уравнений:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}\color{blue}{ 2(x+y)}&\color{blue}{ =42}{ \small ,}\\\color{blue}{ x y}&\color{blue}{= 98 }{\small .}\end{aligned}\right. \)

2. Решим полученную систему уравнений.

Выразим из первого уравнения \(\displaystyle y\) через  \(\displaystyle x\):

\(\displaystyle 2(x+y)=42 \, \big|:{2}{ \small ,}\)

\(\displaystyle x+y=21{ \small ,}\)

\(\displaystyle \color{009900}{y=21-x}{ \small .}\)

Подставим полученное выражение во второе уравнение: 

\(\displaystyle x\cdot (\color{009900}{21-x})=98{ \small .}\)

После преобразований получим квадратное уравнение

\(\displaystyle x^2-21x+98=0{ \small .}\)

Решим его.

\(\displaystyle x_1=14\) и \(\displaystyle x_2=7\) корни уравнения \(\displaystyle x^2-21x+98=0\)

Подставим найденные значения \(\displaystyle x\) в уравнение \(\displaystyle \color{009900}{y=21-x}{\small}\) и найдём \(\displaystyle y{\small:}\)

  • Если \(\displaystyle x=7{ \small ,}\) то \(\displaystyle y=21-7=14{\small .}\) 
  • Если \(\displaystyle x=14 { \small ,}\) то \(\displaystyle y=21-14=7{\small .}\)


3. Ответим на вопрос задачи.

За \(\displaystyle x\) приняли длину меньшей стороны прямоугольника. Её и требовалось найти в задаче.

  • В первой паре решений \(\displaystyle x=7{ \small ,}\) \(\displaystyle y=14{\small .}\)

Получаем, что длина меньшей стороны равна \(\displaystyle 7{ \small ,}\) длина большей стороны равна \(\displaystyle 14{ \small .}\)

  • Во второй паре решений \(\displaystyle x=14{ \small ,}\) \(\displaystyle y=7{\small .}\)

Получаем, что длина меньшей стороны равна \(\displaystyle 14{ \small ,}\) длина большей стороны равна \(\displaystyle 7{ \small ,}\) что невозможно.

Значит, условию задачи удовлетворяет \(\displaystyle x=7{ \small .}\)
 

Ответ: \(\displaystyle 7{\small .}\)