В трапеции \(\displaystyle ABCD{\small:}\)
- основание \(\displaystyle BC=6\small,\)
- боковая сторона \(\displaystyle CD=4\small,\)
- \(\displaystyle \angle BAD=60^{\circ}\) и \(\displaystyle \angle BCD=105^{\circ}\small.\)
Найдите среднюю линию трапеции.
Чтобы найти среднюю линию, сначала найдем основания трапеции.
1. Проведем через точку \(\displaystyle B\) прямую, параллельную \(\displaystyle CD\small.\)
Отметим точку \(\displaystyle K\) – точку пересечения этой прямой с основанием \(\displaystyle AD\small.\)
В четырехугольнике \(\displaystyle BCDK\) противоположные стороны параллельны.
Значит, \(\displaystyle BCDK\) – параллелограмм. Тогда
Тогда третий угол равен: \(\displaystyle \angle ABK=180^{\circ}-60^{\circ}-75^{\circ}=45^{\circ}\small.\) |
|
Тогда, используя теорему синусов для треугольника \(\displaystyle ABK\small,\) найдем \(\displaystyle AK{\small:}\)
\(\displaystyle \frac{AK}{\sin45^{\circ}}=\frac{BK}{\sin60^{\circ}}\small,\)
\(\displaystyle AK=\frac{BK\cdot\sin45^{\circ}}{\sin60^{\circ}}=\frac{4\sqrt{6}}{3}\small.\)
То есть основания трапеции:
\(\displaystyle BC=6\) и \(\displaystyle AD=AK+KD=\frac{4\sqrt{6}}{3}+6\small.\)
2. Длина средней линии трапеции равна полусумме оснований:
\(\displaystyle \frac{BC+AD}{2}=\frac{6+\frac{4\sqrt{6}}{3}+6}{2}=6+\frac{2\sqrt{6}}{3}\small.\)
Ответ: \(\displaystyle 6+\frac{2\sqrt{6}}{3}\small.\)