В прямоугольный треугольник \(\displaystyle ABC\) c прямым углом \(\displaystyle A\) вписана окружность. Найдите гипотенузу этого треугольника, если расстояния от центра окружности до точек \(\displaystyle B\) и \(\displaystyle C\) равно \(\displaystyle 11\) и \(\displaystyle 13\small.\)
В треугольнике \(\displaystyle ABC\small{:}\)
|  |
Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов треугольника.
Значит, \(\displaystyle OB\) – биссектриса угла \(\displaystyle ABC\small,\) а \(\displaystyle OC\) – биссектриса угла \(\displaystyle ACB\small.\)
То есть:
- \(\displaystyle \angle ABO=\angle OBC\small,\)
- \(\displaystyle \angle BCO=\angle OCA\small.\)
1. Найдем сумму углов \(\displaystyle ABC\) и \(\displaystyle BCA{\small.}\) Сумма углов треугольника \(\displaystyle ABC\) равна \(\displaystyle 180^\circ\small,\) тогда \(\displaystyle \angle ABC + \angle BCA=180^\circ-\angle BAC=90^\circ\small.\) 2. Тогда сумма углов \(\displaystyle OBC\) и \(\displaystyle OCB{\small:}\) \(\displaystyle \angle OBC+\angle OCB=\frac{1}{2}(\angle ABC+\angle BCA)=\frac{1}{2} \cdot 90^\circ=45^\circ\small.\) 3. Теперь, зная два угла треугольника \(\displaystyle OBC\small,\) находим третий: \(\displaystyle \angle BOC=180^\circ-(\angle OBC+\angle OCB)=180^\circ-45^\circ=135^\circ\small.\) |  |
Найдем длину гипотенузы \(\displaystyle BC\small,\) используя теорему косинусов для треугольника \(\displaystyle OBC\small{:}\) \(\displaystyle \begin{aligned} BC^2&=OB^2+OC^2-2\cdot OB \cdot OC \cdot \cos \angle BOC=\\&=11^2+13^2-2\cdot 11\cdot 13\cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\\&=121+169+143\sqrt{2}=290+143\sqrt{2}\small.\end{aligned}\)
|  |