У вписанного четырехугольника \(\displaystyle ABCD \) диагонали перпендикулярны, а длина стороны \(\displaystyle AB\) равна \(\displaystyle 4\small.\) Найдите расстояние от центра окружности, описанной около этого четырехугольника, до стороны \(\displaystyle CD\small.\)
Выполним дополнительное построение: проведем диаметр \(\displaystyle CX\small.\)
Вписанные углы, опирающиеся на диаметр, равны \(\displaystyle 90^{\circ}\small,\) то есть \(\displaystyle \angle CAX=\angle CDX=90^{\circ}\small.\) Значит, хорды \(\displaystyle BD\) и \(\displaystyle AX\) перпендикулярны хорде \(\displaystyle AC\small.\) То есть \(\displaystyle BD \parallel AX\small.\) Параллельные прямые высекают равные дуги на окружности: \(\displaystyle {\small \smile }AB={\small \smile }XD\small.\) Тогда и соответствующие этим дугам хорды равны \(\displaystyle XD=AB=4\small.\) |  |
Также отметим, что отрезки \(\displaystyle YO\) и \(\displaystyle XD\) перпендикулярны \(\displaystyle CD\small.\) Причем \(\displaystyle O\) – середина диаметра \(\displaystyle CX\small.\)
Значит, \(\displaystyle OY\) средняя линия треугольника \(\displaystyle CXD\) и
\(\displaystyle OY=\frac{XD}{2}=\frac{4}{2}=2\small.\)
Ответ: \(\displaystyle 2\small.\)