Опустим из точки \(\displaystyle M\) перпендикуляр \(\displaystyle MX\) на прямую \(\displaystyle AD{\small,}\) где \(\displaystyle X\) – точка пересечения этого перпендикуляра с прямой \(\displaystyle AD{\small.}\)

Поскольку \(\displaystyle AD \parallel BC{\small,}\) то прямая \(\displaystyle MX\) перпендикулярна прямой \(\displaystyle BC{\small.}\) Пусть \(\displaystyle Y\) – точка пересечения \(\displaystyle BC\) и \(\displaystyle MX{\small.}\)

Четырехугольники \(\displaystyle ACYX\) и \(\displaystyle BDXY\) – прямоугольники. В прямоугольнике противоположные стороны равны, то есть \(\displaystyle CY=AX=a{\small,}\) \(\displaystyle BY=DX=b\small.\)

• Рассмотрим прямоугольные треугольники \(\displaystyle AMX\) и \(\displaystyle BMY{\small.}\)

По теореме Пифагора:

\(\displaystyle AM^2=AX^2+XM^2=a^2+XM^2{\small;}\)

\(\displaystyle BM^2=BY^2+YM^2=b^2+YM^2{\small.}\)

Тогда

\(\displaystyle AM^2+BM^2=a^2+XM^2+b^2+YM^2{\small.}\)

• Рассмотрим прямоугольные треугольники \(\displaystyle CMY\) и \(\displaystyle DMX{\small.}\)

По теореме Пифагора:

\(\displaystyle CM^2=CY^2+YM^2=a^2+YM^2{\small;}\)

\(\displaystyle DM^2=DX^2+XM^2=b^2+XM^2{\small.}\)

Тогда

\(\displaystyle CM^2+DM^2=a^2+YM^2+b^2+XM^2{\small.}\)

• В результате получаем

\(\displaystyle AM^2+BM^2=a^2+XM^2+b^2+YM^2=CM^2+DM^2\small.\)