Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: 07 Построение серединного перпендикуляра и середины отрезка (короткая версия)

Задание

Даны два непараллельных отрезка \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle CD{\small .}\)

Требуется найти общий центр двух окружностей, для которых эти отрезки являются хордами.

Дополните описание одного из возможных построений, позволяющего найти этот центр.

\(\displaystyle 1{\small .}\)

Определим и построим фигуру, составленную из всех возможных центров окружностей, имеющих хорду \(\displaystyle AB{\small .}\)

Эта фигура \(\displaystyle -\) 

Найдём две точки \(\displaystyle P\) и \(\displaystyle Q\) этой фигуры на пересечении

  • окружности с центром  и радиусом \(\displaystyle CD\)
  • и окружности с центром \(\displaystyle A\) и радиусом  
\(\displaystyle 2{\small .}\)

Построим фигуру, составленную из всех возможных центров окружностей, имеющих хорду \(\displaystyle CD{\small .}\)

Эта фигура \(\displaystyle -\) 

Для этого найдём две точки \(\displaystyle M\) и \(\displaystyle N\) этой фигуры на пересечении

  • окружности с центром  и радиусом 
  • и окружности с центром \(\displaystyle C\) и радиусом \(\displaystyle AC\) 
\(\displaystyle 3{\small .}\)

Найдем искомую точку \(\displaystyle O\) как общую точку двух рассмотренных в предыдущих пунктах фигур.

Для этого проведём

  •  и 

 

Решение

Спланируем процесс поиска общего центра двух окружностей.

Рассмотрим окружность, для которой отрезок \(\displaystyle AB\) является хордой.

Центр \(\displaystyle O\) этой окружности будет являться точкой, равноудалённой от концов хорды \(\displaystyle AB{\small .}\)

Геометрическим местом точек, равноудалённых от концов отрезка является его серединный перпендикуляр.

Значит, точка \(\displaystyle O\) должна принадлежать серединному перпендикуляру к отрезку \(\displaystyle AB{\small .}\)
Аналогично, точка \(\displaystyle O\) должна принадлежать серединному перпендикуляру к отрезку \(\displaystyle CD{\small .}\)

Следовательно, искомый общий центр двух окружностей будет лежать на пересечении серединных перпендикуляров к отрезкам \(\displaystyle AB \) и \(\displaystyle CD{\small .} \)

Приступим к построению.

1. Первый пункт описывает стандартное построение серединного перпендикуляра к отрезку \(\displaystyle AB{\small .}\)

Для построения серединного перпендикуляра проводятся две окружности одинакового радиуса с центрами в концах отрезка.

Значит, центрами являются точки \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B{\small ,}\) а радиусом \(\displaystyle -\) расстояние \(\displaystyle CD{\small .}\)

Учитывая это требование, есть только один способ заполнить первую строку таблицы описания.

Полученные на пересечении окружностей точки \(\displaystyle P\) и \(\displaystyle Q\) принадлежат серединному перпендикуляру к отрезку \(\displaystyle AB{\small .}\)

2. В следующей строке таблицы описания таким же способом находятся две точки серединного перпендикуляра к отрезку \(\displaystyle CD{\small .}\)

Одна из двух окружностей описана полностью: центр в точке \(\displaystyle D{\small ,}\) а радиус равен расстоянию \(\displaystyle AC{\small .}\)

Вторая окружность должна иметь центр в другом конце отрезка и тот же радиус. Это окружность с центром \(\displaystyle C\) и радиусом \(\displaystyle AC{\small .}\)

 

Полученные на пересечении окружностей точки \(\displaystyle M\) и \(\displaystyle N\) принадлежат серединному перпендикуляру к отрезку \(\displaystyle CD{\small .}\)

3. Искомая точка \(\displaystyle O\) находится на пересечении серединных перпендикуляров.

Чтобы получить точку \(\displaystyle O\) следует провести прямые \(\displaystyle PQ\) и \(\displaystyle MN{\small .}\)

Построение выполнено.

Ответ: