Попробуем найти площадь красного сегмента, ограниченного дугой, градусная мера которой \(\displaystyle \alpha^{\circ}\small.\)

Нам уже известно, что площадь сектора, ограниченного красной дугой, равна

\(\displaystyle S_{сектора}=\frac{\pi R^2}{360}\cdot\alpha\small.\) 

Отметим, что площадь сегмента равна разности площадей сектора и треугольника:

\(\displaystyle S_{сегмента}=S_{сектора}-S_{треугольника}\small.\)

Площадь треугольника с двумя сторонами \(\displaystyle R\) и углом \(\displaystyle \alpha\) между ними равна

\(\displaystyle S_{треугольника}=\frac{R^2\sin\alpha}{2}\small.\)

Тогда:

\(\displaystyle S_{сегмента}=S_{сектора}-S_{треугольника}=\frac{\pi R^2}{360}\cdot\alpha-\frac{R^2\sin\alpha}{2}\small.\)