Сравнимы ли числа \(\displaystyle 45\) и \(\displaystyle 24\) по модулю \(\displaystyle 7\small?\)
Решение 1.
Целые числа \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) сравнимы по модулю натурального числа \(\displaystyle m\small\) тогда и только тогда, когда число \(\displaystyle a-b\) делится на \(\displaystyle m\small.\)
Разность чисел \(\displaystyle 45\) и \(\displaystyle 24\) равна
\(\displaystyle 45-24=21\small,\)
и она делится на \(\displaystyle 7\small.\)
Значит, числа \(\displaystyle 45\) и \(\displaystyle 24\) сравнимы по модулю \(\displaystyle 7\small,\)
\(\displaystyle 45\equiv24 \hspace{-2mm}\pmod {7}\small.\)
Решение 2.
Сравнимость целых чисел по модулю натурального числа
Если целые числа \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) при делении на натуральное число \(\displaystyle m\small\) дают один и тот же остаток, то \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) называются сравнимыми по модулю \(\displaystyle m\small,\)
\(\displaystyle a\equiv b \hspace{-2mm}\pmod m\small.\)
Найдем остатки от деления чисел \(\displaystyle 45\) и \(\displaystyle 24\) на \(\displaystyle 7\small.\)
Остаток от деления числа \(\displaystyle 45\) на \(\displaystyle 7\) равен \(\displaystyle 3\small.\)
Остаток от деления числа \(\displaystyle 24\) на \(\displaystyle 7\) равен \(\displaystyle 3\small.\)
Поскольку остатки совпадают, числа \(\displaystyle 45\) и \(\displaystyle 24\) сравнимы по модулю \(\displaystyle 7\small,\)
\(\displaystyle 45\equiv24 \hspace{-2mm}\pmod {7}\small.\)
Ответ: числа \(\displaystyle 45\) и \(\displaystyle 24\) сравнимы по модулю \(\displaystyle 7\small.\)