Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: График \(\displaystyle y=k(x\pm a)^2\) и сдвиг вдоль оси OX

Задание

Запишите уравнение параболы, полученной с помощью сдвига параболы \(\displaystyle y=x^2\) на \(\displaystyle 3\) единицы влево (вдоль оси \(\displaystyle \rm OX\)).
 

\(\displaystyle y=(x\)\(\displaystyle )^{\,2}\)

Решение

Объяснение

Если некоторую точку с координатами \(\displaystyle (x_0\,; y_0)\) сдвинуть на \(\displaystyle a\) единиц влево вдоль оси \(\displaystyle \rm OX\), то получим точку с координатами \(\displaystyle (x_0- a\,; y_0){\small :}\)

Пусть

\(\displaystyle x^{\prime}=x_0-\color{red}{a}\) и \(\displaystyle y^{\prime}=y_0{\small .}\)

Тогда

\(\displaystyle \color{blue}{x_0}=\color{blue}{x^{\prime}+ \color{red}{a}}\) и \(\displaystyle \color{green}{y_0}=\color{green}{y^{\prime}}{\small .}\)

Поэтому, если в \(\displaystyle \color{green}{y_0}=f(\color{blue}{x_0})\) заменить \(\displaystyle \color{blue}{x_0}\) на \(\displaystyle \color{blue}{x^{\prime}}+ \color{red}{a}\) и  \(\displaystyle \color{green}{y_0}\) на \(\displaystyle \color{green}{y^{\prime}}{ \small ,}\) то получаем

\(\displaystyle \color{green}{y^{\prime}}=f(\color{blue}{x^{\prime}}+ \color{red}{a}){\small .}\)

Таким образом,

каждая точка после сдвига на \(\displaystyle \color{red}{a}\) единиц влево вдоль оси \(\displaystyle \rm OX\) удовлетворяет уравнению

\(\displaystyle y=f(x+\color{red}{a}){\small .}\)

Можно сформулировать правило.

Правило

Если график функции \(\displaystyle y=x^2 \) сдвинуть на \(\displaystyle \color{red}{a}\) единиц влево вдоль оси \(\displaystyle \rm OX{\small ,}\) то получится график функции

\(\displaystyle y=(x+\color{red}{a})^2{\small .} \)

По условию задачи парабола \(\displaystyle y=x^2\) сдвигается на \(\displaystyle 3\) единицы влево вдоль оси \(\displaystyle \rm OX{\small .}\)
 


 

Тогда, согласно правилу, у нас получится график функции

\(\displaystyle y= (x+3)^2{\small . }\)

Ответ:\(\displaystyle y= (x+3)^2{\small . }\)