Найти сотый член арифметической прогрессии \(\displaystyle a_{100}{ \small ,}\) если
\(\displaystyle a_{10} = 1{ \small ,}\, a_{20} = 5{\small .}\)
Воспользуемся формулой для n-го члена арифметической прогрессии
Формула \(\displaystyle n \)-го члена арифметической прогрессии
\(\displaystyle a_\color{red}{ n}=a_1+d(\color{red}{ n}-1){ \small ,} \) где \(\displaystyle \color{red}{n}\)– номер элемента в прогрессии.
и запишем \(\displaystyle a_{10} \) и \(\displaystyle a_{20}{\small : } \)
\(\displaystyle a_{10} = a_1 + 9d\) и \(\displaystyle a_{20} = a_1 + 19d{\small .}\)
Поскольку \(\displaystyle a_{10}=1 \) и \(\displaystyle a_{20}=5{ \small ,} \) то, подставляя, получаем систему линейных уравнений:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned} a_1 + 9d=1{ \small ,}\\a_1 + 19d=5{\small .}\end{aligned}\right.\)
Решим ее методом подстановки.
Выразим из первого уравнения \(\displaystyle a_1{\small : } \)
\(\displaystyle a_1=1-9d{\small .} \)
Подставляя во второе уравнение, получаем:
\(\displaystyle (1-9d)+19d=5{ \small ,}\)
\(\displaystyle 1-9d+19d=5{ \small ,}\)
\(\displaystyle -9d+19d=5-1{ \small ,}\)
\(\displaystyle 10d = 4{ \small ,}\)
\(\displaystyle d =0{,}4{\small .}\)
Так как \(\displaystyle a_1=1-9d{ \small ,}\) то
\(\displaystyle a_1=1-9\cdot 0{,}4{\small ,} \)
\(\displaystyle a_1=-2{,}6{\small .} \)
Теперь, зная \(\displaystyle a_1 \) и \(\displaystyle d{ \small ,} \) найдем \(\displaystyle a_{100}{\small : } \)
\(\displaystyle a_{100}=a_1+99d{ \small ,} \)
\(\displaystyle a_{100}=-2{,}6+ 99\cdot 0{,}4{ \small ,}\)
\(\displaystyle a_{100}=-2{,}6+ 39{,}6{ \small ,}\)
\(\displaystyle a_{100}=37{\small .} \)
Ответ: \(\displaystyle 37{\small .}\)