Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: 02 Разные случаи использования формулы для n-го члена

Задание

Найти сто первый член арифметической прогрессии \(\displaystyle a_{101}{ \small ,}\) если

\(\displaystyle a_5= 5{ \small ,}\, a_{25} = 10{\small .}\)

\(\displaystyle a_{101}=\)
29
Решение

Воспользуемся формулой для n-го члена арифметической прогрессии

Правило

Формула \(\displaystyle n \)-го члена арифметической прогрессии

\(\displaystyle a_\color{red}{ n}=a_1+d(\color{red}{ n}-1){ \small ,} \) где \(\displaystyle \color{red}{n}\)– номер элемента в прогрессии.

и запишем \(\displaystyle a_5 \) и \(\displaystyle a_{25}{\small : } \)

\(\displaystyle a_{5} = a_1 + 4d\) и \(\displaystyle a_{25} = a_1 + 24d{\small .}\)

Поскольку \(\displaystyle a_{5}=5 \) и \(\displaystyle a_{25}=10{ \small ,} \) то, подставляя, получаем систему линейных уравнений: 

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned} a_1 + 4d&=5{ \small ,}\\a_1 + 24d&=10{\small .}\end{aligned}\right.\)

Решим ее методом подстановки.

Выразим из первого уравнения \(\displaystyle a_1{\small : } \)

\(\displaystyle a_1=5-4d{\small .} \)

Подставляя во второе уравнение, получаем:

\(\displaystyle (5-4d)+24d=10{ \small ,}\)

\(\displaystyle 5-4d+24d=10{ \small ,}\)

\(\displaystyle 20d=10-5{ \small ,}\)

\(\displaystyle 20d = 5{ \small ,}\)

\(\displaystyle d =0{,}25{\small .}\)

Так как \(\displaystyle a_1=5-4d{ \small ,}\) то

\(\displaystyle a_1=5-4\cdot 0{,}25{\small ,} \)

\(\displaystyle a_1=5-1{\small ,} \)

\(\displaystyle a_1=4{\small .} \)

Теперь, зная \(\displaystyle a_1 \) и \(\displaystyle d{ \small ,} \) найдем \(\displaystyle a_{101}{\small : } \)

\(\displaystyle a_{101}=a_1+100d{ \small ,} \)

\(\displaystyle a_{101}=4+ 100\cdot 0{,}25{ \small ,}\)

\(\displaystyle a_{101}=4+ 25{ \small ,}\)

\(\displaystyle a_{101}=29{\small .} \)

Ответ: \(\displaystyle 29{\small .}\)