Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: Элементарное иррациональное уравнение типа \(\displaystyle \sqrt{f(x)}=a\)

Задание

Решите уравнение (запишите множество корней, если решений нет, то ответом явлется пустое множество):

\(\displaystyle \sqrt{x^2+3x+7}=1{\small .}\)

Перетащите сюда правильный ответ

Решение

Правило

Уравнение вида  \(\displaystyle \sqrt{f(x)}=a\)

  • Если \(\displaystyle a\ge 0{ \small ,}\) то уравнение \(\displaystyle \sqrt{f(x)}=a\) равносильно уравнению \(\displaystyle f(x)=a^2{ \small ,}\)
  • если \(\displaystyle a< 0{ \small ,}\) то уравнение \(\displaystyle \sqrt{f(x)}=a\) не имеет действительных решений.

В нашем случае \(\displaystyle f(x)=x^2+3x+7\) и \(\displaystyle a=1{\small .}\) Так как \(\displaystyle 1 \ge 0{ \small ,}\) то

уравнение \(\displaystyle \sqrt{x^2+3x+7}=1\) равносильно уравнению \(\displaystyle x^2+3x+7=1^2{\small .}\)

Отсюда получаем:

\(\displaystyle x^2+3x+7=1{ \small ,}\)

 Вычтем из обоих частей уравнения \(\displaystyle 1 {\small :}\)

\(\displaystyle x^2+3x+6=0{ \small .}\)

Решим полученное квадратное уравнение:

\(\displaystyle x^2+3x+6=0{ \small ,}\)

\(\displaystyle {\rm D}= (3)^2-4\cdot 4,\)

\(\displaystyle {\rm D}= -7<0{\small .}\)

Следовательно, квадратное уравнение не имеет действительных решений.
 

Ответ:\(\displaystyle \empty{\small .}\)