Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: Элементарные тригонометрические уравнения

Задание

Решите уравнение \(\displaystyle \sin(x)=-\frac{\sqrt{3}}{2}{\small .}\)

\(\displaystyle x_1=\)
-\frac{\pi}{3}
\(\displaystyle +\)
2
 \(\displaystyle \pi n\ , \, n\in \mathbb{Z}\)

Первое слагаемое из интервала \(\displaystyle \left(-\frac{\pi}{2};\, 0\right){\small .}\)
 

\(\displaystyle x_2=\)
\frac{4\pi}{3}
\(\displaystyle +\)
2
 \(\displaystyle \pi n\ , \, n\in \mathbb{Z}\)

Первое слагаемое из  интервала \(\displaystyle \left(\pi;\,\frac{3\pi}{2}\right){\small .}\)

Решение

Так как значения синуса лежат на оси \(\displaystyle \rm OY{ \small ,}\) то пересечем прямую \(\displaystyle y=-\frac{\sqrt{3}}{2}\) и тригонометрическую окружность:

Получаем два набора решений.

Таблица значений тригонометрических функций

Так как

\(\displaystyle \sin \left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)

то получаем первый набор решений:

\(\displaystyle x_1=-\frac{\pi}{3}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}{ \small .}\)
 


Так как 

\(\displaystyle \sin \left(\frac{4\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)

то получаем второй набор решений:

\(\displaystyle x_2=\frac{4\pi}{3}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}{ \small .}\)

 

Ответ: \(\displaystyle x_1=-\frac{\pi}{3}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}\) и \(\displaystyle x_2=\frac{4\pi}{3}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}{ \small .}\)