Выберите верные знаки и обозначения точек на числовой прямой для выражения \(\displaystyle \frac{(x-3)(x-1)}{x-1}\) при решении неравенства методом интервалов:
\(\displaystyle \frac{(x-3)(x-1)}{x-1} \ge 0{\small .}\)
Найдем корни числителя \(\displaystyle (x-3)(x-1) \) и знаменателя \(\displaystyle x-1{\small : } \)
\(\displaystyle (x-3)(x-1)=0 \) или \(\displaystyle x-1=0{ \small ,} \)
\(\displaystyle x-3=0 \) или \(\displaystyle x-1=0{ \small ,} \)
\(\displaystyle x=3\) или \(\displaystyle x=1{\small .} \)
Поскольку знак неравенства нестрогий, то
- все нули числителя, которые не обращают в ноль знаменатель, обозначаются закрашенными;
- все нули знаменателя всегда обозначаются выколотыми.
Так как \(\displaystyle x=3\) обращает в ноль числитель и не обращает в ноль знаменатель, то она обозначается закрашенной. Точка \(\displaystyle x=1 \) обращает в ноль знаменатель и обозначается выколотой. Получаем:
Получили три интервала:
\(\displaystyle (-\infty;1){ \small ,} \, (1;3)\) и \(\displaystyle (3;+\infty){\small .}\)
Определим знак функции \(\displaystyle f(x)=\frac{(x-3)(x-1)}{x-1}\) на каждом из интервалов. Для этого вычислим значение функции \(\displaystyle f(x)=\frac{(x-3)(x-1)}{x-1}\) в произвольно выбранной точке интервала.
Для интервала \(\displaystyle (-\infty;1)\) выберем \(\displaystyle x=0 \in (-\infty;1){\small .}\) Определим знак значения функции в точке \(\displaystyle x=0{ \small :}\)
\(\displaystyle f(0)=\frac{(0-3)(0-1)}{0-1}<0{\small .}\)
Пишем знак минус в интервале \(\displaystyle (-\infty;1){\small :}\)
Для интервала \(\displaystyle (1;3)\) выберем \(\displaystyle x=2 \in (1;3){\small .}\) Определим знак значения функции в точке \(\displaystyle x=2 { \small :}\)
\(\displaystyle f(2)=\frac{(2-3)(2-1)}{2-1}<0{\small .}\)
Пишем знак минус в интервале \(\displaystyle (1;3){\small :}\)
Для интервала \(\displaystyle (3;+\infty)\) выберем \(\displaystyle x=4 \in (3;+\infty){\small .}\) Определим знак значения функции в точке \(\displaystyle x=4 { \small :}\)
\(\displaystyle f(4)=\frac{(4-3)(4-1)}{4-1}>0{\small .}\)
Пишем знак плюс в интервале \(\displaystyle (3;+\infty){\small :}\)
Таким образом, получили следующие знаки на интервалах \(\displaystyle (-\infty;1){ \small ,} \, (1;3)\) и \(\displaystyle (3;+\infty){\small :}\)
