Найдите сумму дробей (в ответе запишите дробь, у которой знаменатель является наименьшим общим знаменателем дробей):
| \(\displaystyle \frac{4}{245}+\frac{13}{343}\,=\) |
В выражении \(\displaystyle \frac{4}{245}+\frac{13}{343}\) приведем дроби к наименьшему общему знаменателю.
Для этого нужно разложить каждое из чисел \(\displaystyle 245\) и \(\displaystyle 343\) на простые множители.
Разложим на простые множители число \(\displaystyle 245{\small .}\) Тогда:
Разложим на простые множители число \(\displaystyle 343{\small .}\) Тогда:
Получили сумму дробей:
\(\displaystyle \frac{4}{245}+\frac{13}{343}=\frac{4}{5\cdot7^2}+\frac{13}{7^3}{\small .}\)
Найдем наименьший общий знаменатель этих дробей в виде произведения простых чисел.
Это наименьшее число, которое делится на \(\displaystyle 5\cdot7^2\) и \(\displaystyle 7^3{\small ,}\) то есть это наименьшее общее кратное этих чисел. Тогда
Чтобы найти наименьшее общее кратное двух чисел, разложенных на простые множители, надо:
1) выбрать все простые множители в наибольших степенях;
2) произведение этих множителей и будет наименьшим общим кратным двух чисел.
1. Выпишем простые множители двух чисел.
Простые множители числа \(\displaystyle 5\cdot7^2\) – это \(\displaystyle 5\) и \(\displaystyle 7{\small .}\)
Простые множители числа \(\displaystyle 7^3\) – это \(\displaystyle 7{\small .}\)
Все простые множители, перечисленные в порядке возрастания: \(\displaystyle 5\) и \(\displaystyle 7{\small .}\)
2. Выберем все простые множители в наибольших степенях.
Рассмотрим степени \(\displaystyle 5{\small .}\) В первом числе это \(\displaystyle 5^{1}{\small ,}\) во втором числе нет множителя \(\displaystyle 5{\small .}\)
Следовательно, первый общий множитель берем \(\displaystyle 5^{\color{blue}1}{\small .}\)
Рассмотрим степени \(\displaystyle 7{\small .}\) В первом числе это \(\displaystyle 7^{2}{\small ,}\) во втором числе – \(\displaystyle 7^{3}{\small .}\) Наибольшая степень из \(\displaystyle 2\) и \(\displaystyle 3\) – это \(\displaystyle 3{\small .}\)
Следовательно, второй общий множитель берем \(\displaystyle 7^{\color{red}{3}}{\small .}\)
3. Таким образом, наименьшим общим кратным исходных двух чисел является произведение \(\displaystyle 5^{\color{blue}1}\cdot 7^{\color{red}{3}}{\small .}\)
Следовательно, наименьший общий знаменатель равен
\(\displaystyle 5\cdot 7^3{\small .}\)
Приведем дроби к наименьшему общему знаменателю \(\displaystyle 5\cdot 7^3{\small .}\)
Тогда
\(\displaystyle \begin{aligned}\frac{4}{245}=\frac{4}{5\cdot 7^2} \longrightarrow \frac{4\cdot \color{blue}{ 7}}{ 5\cdot \color{blue}{ 7}\cdot 7^2}{ \small ,}\end{aligned} \\[5px] \)
\(\displaystyle \begin{aligned}\frac{13}{343}=\frac{13}{ 7^3} \longrightarrow \frac{13\cdot \color{green}{ 5}}{\color{green}{ 5}\cdot 7^3}{\small .}\end{aligned}\)
Получаем:
\(\displaystyle \frac{4}{245}+\frac{13}{343}=\frac{4}{5\cdot 7^2} +\frac{13}{ 7^3}=\frac{4\cdot \color{blue}{ 7}}{ 5\cdot \color{blue}{ 7}\cdot 7^2}+\frac{13\cdot \color{green}{ 5}}{\color{green}{ 5}\cdot 7^3}=\frac{4\cdot 7+13\cdot 5}{5\cdot 7^3}{\small .}\)
Перемножая числа в числителе и знаменателе, а затем складывая, получаем:
\(\displaystyle \frac{4\cdot 7+13\cdot 5}{ 5\cdot 7^3}=\frac{28+65}{ 1715}=\frac{93}{ 1715 }{\small .} \)
Ответ: \(\displaystyle \frac{93}{1715}{\small .}\)