Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: 08 Деление выражения на дробь

Задание

Найдите частное и сократите дробь:

\(\displaystyle (x+2)^4:\frac{x^2+4x+4}{x+3}=\)
(x+2)^2(x+3)
Решение

Правило

Деление многочлена на дробь

Чтобы разделить многочлен на рациональную дробь, надо этот многочлен умножить на обратную дробь.

То есть для многочлена \(\displaystyle {f}\) и дроби \(\displaystyle \color{red}{\frac{a}{b}}\) верно

\(\displaystyle {f}: \color{red}{\frac{a}{b}}={f}\cdot\color{red}{\frac{ b}{a}}{\small .}\)

В соответствии с описанным выше правилом:

\(\displaystyle (x+2)^4:\color{red}{\frac{x^2+4x+4}{x+3}}=(x+2)^4\cdot\color{red}{\frac{x+3}{x^2+4x+4}}\small.\)


Умножая многочлен на дробь, получаем:

\(\displaystyle (x+2)^4\cdot{\frac{x+3}{x^2+4x+4}}={\frac{(x+2)^4\cdot(x+3)}{x^2+4x+4}}{\small .}\)


Чтобы сократить дробь, разложим выражение \(\displaystyle x^2+4x+4\) на множители:

\(\displaystyle x^2+4x+4=(x+2)^2\small.\)


Подставляя, получим:

\(\displaystyle {\frac{(x+2)^4\cdot(x+3)}{\color{blue}{x^2+4x+4}}}=\frac{(x+2)^4\cdot(x+3)}{\color{blue}{(x+2)^2}}\small.\)

Сократим дробь:

\(\displaystyle \frac{\color{blue}{(x+2)^{{4}}}\cdot(x+3)}{{\color{blue}{(x+2)^2}}}={\color{blue}{(x+2)^{{4-2}}}\cdot(x+3)}=(x+2)^2(x+3)\small.\)

Ответ: \(\displaystyle (x+2)^2(x+3){\small .}\)