Случайная выборка из некоторой генеральной совокупности содержит пять значений:
\(\displaystyle 2,\quad 6 ,\quad 2,\quad 1 \quad и \quad 4.\)
По этой выборке найдите несмещённую оценку дисперсии генеральной совокупности.
Для выборки \(\displaystyle x_1,\, x_2,\, \dots, x_{n} \) из некоторой генеральной совокупности
выборочное среднее
\(\displaystyle \bar{x}=\frac{1}{n}\left(x_1+x_2+\ldots+x_n \right)\)
является несмещенной оценкой математического ожидания данной генеральной совокупности.
Для выборки \(\displaystyle x_1,\, x_2,\, \dots, x_{n} \) из некоторой генеральной совокупности
выборочная дисперсия
\(\displaystyle S^2_{n}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2{\small .}\)
Выборочная дисперсия является смещенной оценкой дисперсии данной генеральной совокупности.
Исправленная выборочная дисперсия
\(\displaystyle S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2{\small .}\)
Исправленная выборочная дисперсия является несмещенной оценкой дисперсии данной генеральной совокупности.
Найдем выборочное среднее для \(\displaystyle 2,\quad 6 ,\quad 2,\quad 1 \quad и \quad 4.\)
\(\displaystyle \bar{x}=\frac{1}{5}\left(2+6+2+1+4\right)=3\)
Это несмещенная оценка математического ожидания генеральной совокупности.
Тогда исправленная выборочная дисперсия равна
\(\displaystyle S^2=\frac{1}{5-1}\cdot \left((2-3)^2+(6-3)^2+(2-3)^2+(1-3)^2+(4-3)^2 \right){\small ,}\)
\(\displaystyle S^2=\frac{1}{4}\cdot \left(1+9+1+4+1\right){\small ,}\)
\(\displaystyle S^2=4{\small .}\)