Пусть \(\displaystyle ABCD\) – равнобедренная трапеция, в которой:

• \(\displaystyle AD=42\) и \(\displaystyle BC=12\) – основания,
• \(\displaystyle AB=CD=39\) – боковые стороны, 
• \(\displaystyle BH \) и \(\displaystyle CK \) – высоты.  

Поскольку основания трапеции параллельны, а высоты  трапеции перпендикулярны основаниям, то \(\displaystyle \\ BHKC \) – прямоугольник.

Тогда \(\displaystyle H K = BC= 12 \small.\)

Прямоугольные треугольники \(\displaystyle ABH\) и \(\displaystyle DCK\) равны по гипотенузе \(\displaystyle AB=CD\) и катету \(\displaystyle BH=CK\small.\)

Значит, 

\(\displaystyle \begin{aligned} AH&=DK=\frac{AD-BC}{2}=\\ \\ &=\frac{42-12}{2}=\frac{30}{2}=15 \small. \end{aligned}\)

Найдем высоту \(\displaystyle CK\) трапеции.

По теореме Пифагора

\(\displaystyle CD^2=CK^2+KD^2 {\small.}\)

Значит, 

\(\displaystyle CK^2=CD^2-KD^2\small,\)

\(\displaystyle CK^2=39^2-15^2=1521-225=1296=36^2\small.\)

•  \(\displaystyle CK=36{\small,}\) 
• \(\displaystyle AK=AD-KD=42-15=27 \small.\)

Найдем диагональ \(\displaystyle AC\) трапеции.

По теореме Пифагора

\(\displaystyle AC^2=AK^2+CK^2 {\small,}\)

\(\displaystyle AC^2=27^2+36^2=729+1296=2025=45^2 \small.\)