Пусть \(\displaystyle \angle ABD = 55^{\circ} \small.\) 

Проведём вторую диагональ \(\displaystyle AC {\small.}\)

Пусть \(\displaystyle O\) – точка пересечения диагоналей \(\displaystyle BD\) и \(\displaystyle AC{\small.}\)

Воспользуемся одним из свойств ромба.

Значит, \(\displaystyle \angle AOB \) – прямой.

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\displaystyle BAO \small.\) 

Так как сумма углов треугольника \(\displaystyle BAO \) равна \(\displaystyle 180^{\circ} \small,\)  получаем

\(\displaystyle \angle BAO = 180^{\circ}-\angle ABO-\angle AOB=180^{\circ}-55^{\circ}-90^{\circ}=35^{\circ} \small.\)

Значит, угол между стороной ромба и другой диагональю равен  \(\displaystyle 35^{\circ} {\small .}\)

Ответ: \(\displaystyle 35 {\small .}\)