Большее основание равнобедренной трапеции равно \(\displaystyle 34\small.\) Боковая сторона равна \(\displaystyle 14\small.\) Синус острого угла равен \(\displaystyle \frac{2\sqrt{10}}{7}\small.\) Найдите меньшее основание.
Пусть \(\displaystyle AD=34\) – большее основание, \(\displaystyle AB=CD=14\) – боковые стороны равнобедренной трапеции \(\displaystyle ABCD\small.\) По свойству равнобедренной трапеции углы при основании равны: \(\displaystyle \sin \angle A=\sin \angle D=\frac{2\sqrt{10}}{7}\small.\) Требуется найти основание \(\displaystyle BC\small.\) Проведем высоты \(\displaystyle BH\) и \(\displaystyle CK\) трапеции. |  |
Нам известны \(\displaystyle \sin \angle BAH=\frac{2\sqrt{10}}{7}\) и \(\displaystyle AB=14\small.\) Так как \(\displaystyle \sin \angle BAH=\frac{ BH}{AB}\small,\) то \(\displaystyle BH={AB}\cdot {\sin \angle BAH}={14}\cdot{\frac{2\sqrt{10}}{7}}={4\sqrt{10}}\small.\) По теореме Пифагора \(\displaystyle AH^2=AB^2-BH^2\small.\) Значит, \(\displaystyle AH^2=14^2-(4\sqrt{10})^2=196-160=36=6^2\small.\) Так как длина отрезка положительна, то \(\displaystyle AH=6\small.\) |  |
Поскольку основания трапеции параллельны, а высоты трапеции перпендикулярны основаниям, \(\displaystyle BH K C \) – прямоугольник.
Тогда \(\displaystyle H K =BC\small.\)
Прямоугольные треугольники \(\displaystyle ABH\) и \(\displaystyle DCK\) равны по гипотенузе \(\displaystyle AB=CD\) и катету \(\displaystyle BH=CK\small.\) Значит \(\displaystyle DK=AH=6\) и \(\displaystyle BC=HK=AD-AH-DK=\) \(\displaystyle =34-6-6=22\small.\) |  |
Ответ: \(\displaystyle 22 \small.\)