Через концы \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B\) дуги окружности с центром \(\displaystyle O\) проведены касательные \(\displaystyle AC\) и \(\displaystyle BC {\small .}\) Угол \(\displaystyle AOB\) равен \(\displaystyle 132^\circ {\small .}\) Найдите угол \(\displaystyle CAB{\small .}\) Ответ дайте в градусах.
Пусть дуга \(\displaystyle \overset{\smile}{\color{blue}{AB}} \) стягивается хордой \(\displaystyle AB{\small .}\)
Поскольку дуга \(\displaystyle AB\) меньше полуокружности, то по определению градусной меры дуги окружности
Градусная мера дуги окружности
Градусная мера полуокружности равна \(\displaystyle 180^{\circ}{\small .}\)
Если дуга \(\displaystyle AB\) окружности меньше полуокружности, то ее градусная мера равна градусной мере центрального угла \(\displaystyle AOB{\small .}\)
Если дуга \(\displaystyle AB\) окружности больше полуокружности, то ее градусная мера равна \(\displaystyle 360^{\circ}-\angle AOB{\small .}\)
получаем:
\(\displaystyle {\overset{\smile}{\color{blue}{AB}}}={\angle AOB}=132^{\circ }{\small .} \)
По свойству
Угол между касательной и хордой
Величина угла между касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине заключенной между ними дуги.
получаем:
\(\displaystyle \angle BAC =\frac{1}{2} \cdot \overset{\smile}{\color{blue}{AB}} =\frac{1}{2} \cdot 132=66^{\circ }{\small .} \)
Ответ: \(\displaystyle 66 {\small .}\)