Вписанная в треугольник \(\displaystyle ABC\) окружность касается стороны \(\displaystyle AB\) в точке \(\displaystyle K \small.\) Найдите периметр треугольника \(\displaystyle ABC \small,\) если \(\displaystyle AK=5 \small,\) \(\displaystyle KB=2 \small,\) \(\displaystyle AC=8 \small.\)
Пусть \(\displaystyle L\) и \(\displaystyle M\) – точки касания вписанной окружности со сторонами \(\displaystyle BC\) и \(\displaystyle CA\) соответственно.
По свойству отрезков касательных, проведенных из одной точки,
\(\displaystyle AK=AM=5 \small,\)
\(\displaystyle BL=BK=2 \small,\)
\(\displaystyle CM=CL \small.\)
Тогда
\(\displaystyle CM=AC-AM=8-5=3 \small,\)
\(\displaystyle CL=CM=3 \small.\)
Так как
\(\displaystyle AB=AK+KB=5+2=7 \small,\)
\(\displaystyle BC=BL+CL=2+3=5 \small,\)
то периметр треугольника равен
\(\displaystyle P=AB+BC+CA=7+5+8=20 \small.\)
Ответ: \(\displaystyle 20{\small .}\)