Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: Дополнение до полного квадрата разности - 1

Задание

Дополните выражение до полного квадрата разности и запишите получившийся квадрат разности:
 

\(\displaystyle 25s^{\,2}-30s\,+\)\(\displaystyle ^2=\big(\)\(\displaystyle \big)^2\)

Решение

Нам известно, что выражение

\(\displaystyle 25s^{\,2}-30s+\,\color{red}{?}\)

является полным квадратом разности, и необходимо найти второй квадрат.

Следовательно,

\(\displaystyle 25s^{\,2}-30s+\,\color{red}{?}=(a-b\,)^2,\)

\(\displaystyle 25s^{\,2}-30s+\,\color{red}{?}=a^{\,2}-2ab+\color{red}{b^{\,2}}\)

для некоторых \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b.\)

В начале заметим, что \(\displaystyle 25s^{\,2}=5^2s^{\,2}=(5s\,)^2,\) и поэтому нам известен один квадрат и удвоенное произведение

\(\displaystyle (5s\,)^2=a^{\,2},\)

\(\displaystyle 30s=2ab,\)

но неизвестен второй квадрат

\(\displaystyle \color{red}{?}=b^{\,2}\)

для некоторых \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b,\) которые надо найти.

Из того, что \(\displaystyle a^{\,2}=(5s\,)^2,\) следует, что \(\displaystyle a=5s\) или \(\displaystyle a=-5s.\)

Если \(\displaystyle a=5s,\) то, подставляя вместо \(\displaystyle a\) в равенство \(\displaystyle 30s=2ab,\) получаем:

\(\displaystyle 30s=2\cdot 5s \cdot b,\)

\(\displaystyle 30s=10sb,\)

\(\displaystyle b=\frac{30s}{10s},\)

\(\displaystyle b=3.\)

Поэтому недостающий квадрат равен

\(\displaystyle \color{red}{?}=3^2\)

Таким образом, 

\(\displaystyle 25s^{\,2}-30s+\,\color{red}{?}=25s^{\,2}-30s+\color{red}{3^2}\)

и

\(\displaystyle 25s^{\,2}-30s+{\bf 3}^2=({\bf 5s-3})^2.\)


Ответ: \(\displaystyle 25s^{\,2}-30s+{\bf 3}^2=({\bf 5s-3})^2.\)