Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: Решение текстовых задач с помощью систем линейного и нелинейного уравнений (числа) (короткая версия)

Задание

Произведение двух натуральных чисел равно \(\displaystyle 120{ \small ,} \) а их разность равна \(\displaystyle 7{\small .} \) Найдите эти числа.
 

и  .

Решение

Известны произведение и сумма натуральных чисел. Требуется найти эти числа.
 

1. Выберем неизвестное (неизвестные) и составим уравнение (уравнения).

Пусть \(\displaystyle x\)– большее натуральное число, а \(\displaystyle y\)– меньшее натуральное число.

По условию, 

  • произведение чисел равно \(\displaystyle 120{\small ,}\) то есть \(\displaystyle \color{blue}{ xy=120}{\small ,}\)
  • разность чисел равна \(\displaystyle 7{\small ,}\) то есть \(\displaystyle \color{blue}{ x-y=7}{\small .}\)


Чтобы ответить на вопрос задачи, надо найти такие значения \(\displaystyle \color{blue}x\) и \(\displaystyle \color{blue}y{\small,}\) которые удовлетворяют как первому, так и второму уравнению, то есть удовлетворяют системе

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned} \color{blue}{ xy=120}{ \small ,}\\\color{blue}{ x-y=7}{\small .}\end{aligned}\right. \)

2. Решим полученную систему уравнений.

Выразим из второго уравнения \(\displaystyle x\) через  \(\displaystyle y{\small :}\)

\(\displaystyle \color{009900}{x=y+7}{\small .}\)

Подставим выражение \(\displaystyle \color{009900}{y+7}{\small }\) в первое уравнение вместо \(\displaystyle x{\small :}\)

\(\displaystyle (y+7) y=120{ \small ,}\)

\(\displaystyle y^2+7y-120=0{ \small .}\)

\(\displaystyle y_1=8\) и \(\displaystyle y_2=-15{ \small }\)– решения \(\displaystyle y^2+7y-120=0{\small .}\)

Подставим найденные значения \(\displaystyle y\) в уравнение \(\displaystyle \color{009900}{x=y+7}{\small}\) и найдём \(\displaystyle y{\small:}\)

  • Если \(\displaystyle y=8,\) то \(\displaystyle x=8+7=15{\small .}\) 
  • Если \(\displaystyle y=-15,\) то \(\displaystyle x=-15+7=-8{\small .}\) 


3. Ответим на вопрос задачи.

Требовалось найти два натуральных числа, удовлетворяющих условию задачи.

При решении системы получили две пары чисел: \(\displaystyle x=15\) и \(\displaystyle y=8{\small ,}\) \(\displaystyle x=-8\) и \(\displaystyle y=-15{\small .}\) 

За \(\displaystyle x\) взяли большее натуральное число, за \(\displaystyle y\)– меньшее.

Только в паре \(\displaystyle x=15\) и \(\displaystyle y=8{\small }\) оба числа натуральные и \(\displaystyle x>y{\small . }\)

Значит, в ответ запишем \(\displaystyle 15\) и \(\displaystyle 8{\small .}\)
 

Ответ: \(\displaystyle 15\) и \(\displaystyle 8{\small .}\)