Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: Решение текстовых задач с помощью систем линейного и нелинейного уравнений (числа) (короткая версия)

Задание

Сумма двух чисел равна \(\displaystyle 23{ \small ,} \) а их произведение на \(\displaystyle 193{\small } \) меньше суммы их квадратов. Найдите эти числа.

и .

Решение

1. Выберем неизвестное (неизвестные) и составим уравнение (уравнения).

Пусть \(\displaystyle x\)– первое число, а \(\displaystyle y\)– второе число.

  • По условию, сумма этих чисел равна \(\displaystyle 23{ \small .} \) Тогда получаем уравнение 

\(\displaystyle \color{blue}{ x+y=23}{\small .}\)

  • По условию, произведение чисел на \(\displaystyle 193{\small } \) меньше суммы их квадратов.

Тогда вычитая из большей величины меньшую, получаем уравнение

\(\displaystyle \color{blue}{x^2+y^2-xy=193}{\small .}\)


Чтобы ответить на вопрос задачи, надо найти такие значения \(\displaystyle \color{blue}x\) и \(\displaystyle \color{blue}y{\small,}\) которые удовлетворяют как первому, так и второму уравнению, то есть удовлетворяют системе

\(\displaystyle \begin{cases} \color{blue}{ x+y=23}{ \small ,}\\\color{blue}{x^2+y^2 - xy=193}{\small .}\end{cases} \)


2. Решим полученную систему уравнений.

Выразим из первого уравнения \(\displaystyle y\) через  \(\displaystyle x{\small :}\)

\(\displaystyle \color{009900}{y=23-x}{\small .}\)

Подставим выражение \(\displaystyle \color{009900}{23-x}{\small }\) во второе уравнение системы вместо \(\displaystyle y{\small :}\)

\(\displaystyle x^2+(23-x)^2-x(23-x)=193{ \small .}\)

После преобразований получим квадратное уравнение

\(\displaystyle x^2 - 23x + 112 = 0{ \small .}\)

Решим его.

\(\displaystyle x_1=16\) и \(\displaystyle x_2=7\)– корни уравнения \(\displaystyle x^2 - 23x + 112 = 0 { \small .}\)

Подставим найденные значения \(\displaystyle x\) в уравнение \(\displaystyle \color{009900}{y=23-x}{\small}\) и найдём \(\displaystyle y{\small:}\)

  • Если \(\displaystyle x=16,\) то \(\displaystyle y=23-16=7{\small .}\) 
  • Если \(\displaystyle x=7,\) то \(\displaystyle y=23-7=16{\small .}\) 


3. Ответим на вопрос задачи.

Требовалось найти два числа, удовлетворяющих условию задачи.

При решении системы получили две пары чисел: \(\displaystyle x=16\) и \(\displaystyle y=7{\small ,}\) \(\displaystyle x=7\) и \(\displaystyle y=16{\small .}\) 

Поскольку порядок чисел по условию не важен, то в ответ можем записать любую пару, например, \(\displaystyle 7\) и \(\displaystyle 16{\small .}\)


Ответ: \(\displaystyle 7\) и \(\displaystyle 16{\small .}\)