На сторонах \(\displaystyle KL{\small,}\) \(\displaystyle LM{\small,}\) \(\displaystyle MN\) и \(\displaystyle NK\) четырёхугольника \(\displaystyle KLMN\) отмечены соответственно точки \(\displaystyle P{\small,}\) \(\displaystyle Q{\small,}\) \(\displaystyle R\) и \(\displaystyle S\) так, что \(\displaystyle KP=MR{\small,}\) \(\displaystyle LQ=NS{\small,}\) \(\displaystyle LP=NR{\small,}\) \(\displaystyle MQ=KS{\small.}\)
Является ли четырёхугольник \(\displaystyle PQRS\) параллелограммом?
Почему?
По условию задачи выполним чертёж.
Построим четырёхугольник \(\displaystyle KLMN{\small.}\) На сторонах \(\displaystyle KL{\small,}\) \(\displaystyle LM{\small,}\) \(\displaystyle MN\) и \(\displaystyle NK\) этого четырёхугольника отметим соответственно точки \(\displaystyle P{\small,}\) \(\displaystyle Q{\small,}\) \(\displaystyle R\) и \(\displaystyle S{\small.}\)
Равные отрезки обозначим одинаковым цветом:
\(\displaystyle \color{green}{KP}=\color{green}{MR}{\small,}\) \(\displaystyle \color{blue}{LQ}=\color{blue}{NS}{\small,}\) \(\displaystyle \color{brown}{LP}=\color{brown}{NR}{\small,}\) \(\displaystyle \color{red}{MQ}=\color{red}{KS}{\small.}\) |  |
\(\displaystyle KLMN\) – параллелограмм.
 | \(\displaystyle \angle K= \angle M{\small,}\) \(\displaystyle \angle L= \angle N{\small.}\) |
Рассмотрим четырёхугольник \(\displaystyle PQRS{\small.}\)
\(\displaystyle PS=QR{\small.}\)
\(\displaystyle PQ=RS{\small.}\)
В четырёхугольнике \(\displaystyle PQRS\) противоположные стороны попарно равны. Значит,
\(\displaystyle PQRS\) – параллелограмм.
| Ответ: | Является ли четырёхугольник \(\displaystyle PQRS\) параллелограммом? Да. Почему? Противоположные стороны попарно равны. |