Сколько существует двузначных чисел, начинающихся на цифру, кратную двум, а заканчивающихся на нечётную цифру?
Требуется определить, сколько существует двузначных чисел, начинающихся на цифру, кратную двум, а заканчивающихся на нечётную цифру.
Начинаем строить наше двузначное число.
Изобразим выбор в виде дерева:
Теперь определим, какие цифры могут стоять на втором месте.
Заметим, что к каждой из четырех первых цифр можно подставить на второе место любую из пяти вторых цифр. Продолжим наше дерево выбора (из каждой вершины первой цифры выходит по \(\displaystyle 5\) ребер, ведущих в вершины второй цифры):
Таким образом, каждая цепь, соединяющая вершину Двузначное число с одной из висячих вершин вторых цифр, отвечает за одно двузначное число.
Всего можно составить \(\displaystyle 20\) чисел:
\(\displaystyle 21{\small,}\,23{\small,}\,25{\small,}\,27{\small,}\,29{\small,}\,41{\small,}\,43{\small,}\,45{\small,}\,47{\small,}\,49{\small,}\,61{\small,}\,63{\small,}\, 65{\small,}\,67{\small,}\,69{\small,}\,81{\small,}\,83{\small,}\,85{\small,}\,87{\small,}\,89{\small.}\)
Заметим, что мы могли не перебирать все возможные числа, а просто посчитать их количество.
Так как к каждой из \(\displaystyle \color{green}{4}\) первых цифр можно поставить на второе место одну из \(\displaystyle \color{red}{5}\) цифр, то общее количество получившихся таким образом двузначных чисел составляет
\(\displaystyle \color{green}{4} \cdot \color{red}{5}=20\)чисел.
Можем сформулировать правило:
Правило умножения
Если множество \(\displaystyle A\) состоит из \(\displaystyle n\) элементов, а множество \(\displaystyle B\) – из \(\displaystyle k\) элементов, то множество упорядоченных пар \(\displaystyle (a,b) {\small,}\) где\(\displaystyle a \in A {\small,}\) \(\displaystyle b \in B {\small,}\) состоит из \(\displaystyle n \cdot k\) элементов.
Ответ: \(\displaystyle 20\)чисел.