Множество \(\displaystyle A\) состоит из четырёх различных элементов, множество \(\displaystyle B\) – из шести, а множество \(\displaystyle C\) – из пяти. Сколько можно составить троек вида \(\displaystyle (a,b,c) {\small,}\) где\(\displaystyle a \in A {\small,}\) \(\displaystyle b \in B {\small,}\) \(\displaystyle c \in C {\small?}\)
Правило умножения
Если множество \(\displaystyle A\) состоит из \(\displaystyle \color{green}{n}\) элементов, а множество \(\displaystyle B\) – из \(\displaystyle \color{red}{k}\) элементов, то множество упорядоченных пар \(\displaystyle (a,b) {\small,}\) где\(\displaystyle a \in A {\small,}\) \(\displaystyle b \in B {\small,}\) состоит из \(\displaystyle \color{green}{n} \cdot \color{red}{k}\) элементов.
Например, правило умножения для трёх элементов может быть сформулировано следующим образом:
Если множество \(\displaystyle A\) состоит из \(\displaystyle \color{green}{n}\) элементов, множество \(\displaystyle B\) – из \(\displaystyle \color{red}{k}\) элементов, а множество \(\displaystyle C\) – из \(\displaystyle \color{violet}{m}\) элементов, то множество упорядоченных троек \(\displaystyle (a,b,c) {\small,}\) где\(\displaystyle a \in A {\small,}\) \(\displaystyle b \in B {\small,}\) \(\displaystyle c \in C {\small,}\)состоит из \(\displaystyle \color{green}{n} \cdot \color{red}{k} \cdot \color{violet}{m}\) элементов.
По условию:
- множество \(\displaystyle A\) состоит из четырёх элементов, значит, \(\displaystyle \color{green}{n}=\color{green}{4}{\small;}\)
- множество \(\displaystyle B\) состоит из шести элементов, значит, \(\displaystyle \color{red}{k}=\color{red}{6}{\small;}\)
- множество \(\displaystyle C\) состоит из пяти элементов, значит, \(\displaystyle \color{violet}{m}=\color{violet}{5}{\small;}\)
По правилу умножения получаем, что троек \(\displaystyle (a,b,c) {\small,}\) где\(\displaystyle a \in A {\small,}\) \(\displaystyle b \in B {\small,}\) \(\displaystyle c \in C {\small,}\) можно составить
\(\displaystyle \color{green}{n} \cdot \color{red}{k} \cdot \color{violet}{m}=\color{green}{4} \cdot \color{red}{6} \cdot \color{violet}{5}=120{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle 120{\small.}\)