Речь идет о среднем геометрическом двух чисел, значит \(\displaystyle n=2\small.\)

Произведением данных чисел \(\displaystyle 6\) и \(\displaystyle 9\) является число

\(\displaystyle 6 \cdot 9=54\small.\)

Теперь требуется найти приближенное значение такого положительного числа \(\displaystyle a\small,\) что число \(\displaystyle a^2\) равно \(\displaystyle 54\small.\)

То есть надо найти приближенное значение положительного числа \(\displaystyle a\small,\) квадрат которого равен \(\displaystyle 54\small.\)

Шаг 1. Найдём целое число, с которого начинается десятичная запись числа \(\displaystyle a{\small .}\)

Знаем, что \(\displaystyle 54\) лежит между двумя квадратами чисел:

\(\displaystyle 7^2<54<8^2{\small .}\)

Значит,

\(\displaystyle 7^2< a^2 <8^2{\small ,}\)

\(\displaystyle 7<a<8{\small ,} \)

то есть 

\(\displaystyle a=7{,}\ldots\)

Шаг 2. Теперь найдём цифру в разряде десятых.

Чтобы получить более точное приближение, будем возводить в квадрат числа

\(\displaystyle 7{,}1{\small ;}\ \ 7{,}2{\small ;}\ \ldots{\small ,}\ 7{,}9\)

пока не получим число, большее \(\displaystyle 54{\small. }\)

Для вычислений воспользуемся таблицей квадратов двузначных чисел.

Получаем:

\(\displaystyle \left(7{,}3 \right)^2< 54 < \left(7{,}4 \right)^2{\small ,}\)

\(\displaystyle \left(7{,}3 \right)^2< a^2 < \left(7{,}4 \right)^2{\small .}\)

Тогда

\(\displaystyle 7{,}3<a<7{,}4{\small.}\)

Значит,

\(\displaystyle a=7{,}3\ldots\)

Шаг 3. Теперь найдём цифру в разряде сотых.

Чтобы получить более точное приближение, будем возводить в квадрат числа

\(\displaystyle 7{,}31{\small ;}\ \ 7{,}32{\small ;}\ \ldots{\small ,}\ 7{,}39\)

пока не получим число, большее \(\displaystyle 54{\small. }\)

Получили:

\(\displaystyle 7{,}34^{\,2}< 54 < 7{,}35^{\,2}{\small ,}\)

\(\displaystyle 7{,}34^{\,2}< a^2 < 7{,}35^{\,2}{\small .}\)

Значит,

\(\displaystyle a=7{,}34\ldots\)

Ответ: \(\displaystyle 7{,}34\ldots\)