Речь идет о среднем геометрическом шести чисел, значит \(\displaystyle n=6\small.\)

Произведением данных чисел \(\displaystyle 1{\small,}\) \(\displaystyle 3{\small,}\) \(\displaystyle 5{\small,}\) \(\displaystyle 6{\small,}\) \(\displaystyle 7\) и \(\displaystyle 8{\small}\) является число

\(\displaystyle 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8=5040\small.\)

Теперь требуется найти, между какими целыми числами находится такое положительное число \(\displaystyle a\small,\) что число \(\displaystyle a^6\) равно \(\displaystyle 5040\small.\)

Чтобы получить более точное приближение, будем возводить в шестую степень натуральные числа

\(\displaystyle 1{\small ;}\ \ 2{\small ;}\ \ 3{\small ;}\ \ldots{\small }\)

пока не получим первое число, большее \(\displaystyle 5040{\small. }\)

Наименьшее значение данного набора – число \(\displaystyle 1{\small,}\) значит можно начинать возведение в шестую степень именно с числа \(\displaystyle 1{\small.}\)

Все вычисления на данном этапе проводим аккуратно в столбик или с помощью калькулятора.

\(\displaystyle 1^{6}=1 \color{blue}{<} 5040 {\small,}\)

\(\displaystyle 2^{6}=64 \color{blue}{<} 5040 {\small,}\)

\(\displaystyle 3^{6}=729 \color{blue}{<} 5040 {\small,}\)

\(\displaystyle 4^{6}=4096 \color{blue}{<} 5040 {\small,}\)

\(\displaystyle 5^{6}=15625 \color{red}{>} 5040{\small.}\)

Получаем:

\(\displaystyle 4^6 < 5040 < 5^6{\small ,}\)

\(\displaystyle 4^6 < a^6 < 5^6{\small .}\)

Тогда

\(\displaystyle 4<a<5{\small.}\)

Ответ: между \(\displaystyle 4\) и \(\displaystyle 5{\small.}\)