Среднее геометрическое трех чисел равно \(\displaystyle \frac{1}{3}{\small.}\) Первое число – \(\displaystyle \frac{1}{4}{\small,}\) второе – \(\displaystyle \frac{1}{6}{\small.}\) Найдите третье число.
Среднее геометрическое
Средним геометрическим \(\displaystyle n\) положительных чисел называется такое положительное число \(\displaystyle a\small,\) что число \(\displaystyle a^n\) равно произведению данных чисел.
Речь идет о среднем геометрическом трех чисел, то есть \(\displaystyle n=3\small.\)
Два числа известны – \(\displaystyle \frac{1}{4}\small\) и \(\displaystyle \frac{1}{6}\small.\) Обозначим третье число буквой \(\displaystyle x\small.\)
Среднее геометрическое трех чисел равно \(\displaystyle \frac{1}{3}{\small.}\) Значит, произведением этих чисел является число
\(\displaystyle \bigg(\frac{1}{3}\bigg)^3=\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{27}\small,\)
то есть
\(\displaystyle \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{6} \cdot x=\frac{1}{27}\small,\)
\(\displaystyle \frac{1}{24}\,x=\frac{1}{27}\small,\)
откуда
\(\displaystyle x=\frac{1}{27}:\frac{1}{24}\small,\)
\(\displaystyle x=\frac{24}{27}=\frac{8}{9}\small.\)
Ответ: \(\displaystyle \frac{8}{9}\small.\)