Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: 03 Выбор точки из фигуры на плоскости - 3

Задание

В квадрате \(\displaystyle ABCD\) точка \(\displaystyle P\) делит сторону \(\displaystyle AB\) на две равные части, а точки \(\displaystyle Q{\small, }\) \(\displaystyle R{\small }\) и \(\displaystyle S{\small }\) делят сторону \(\displaystyle BC\) на четыре равные части.

В квадрате \(\displaystyle ABCD\) случайным образом выбирают точку.

1. Найдите вероятность того, что эта точка принадлежит треугольнику \(\displaystyle PBS{\small .}\)

\frac{3}{16}

 

2. Найдите вероятность того, что эта точка принадлежит многоугольнику \(\displaystyle APSCD{\small .}\)

\frac{13}{16}
Решение

1. Найдём вероятность того, что случайно выбранная в квадрате \(\displaystyle ABCD\) точка принадлежит треугольнику \(\displaystyle PBS{\small .}\)

Эта вероятность равна отношению площади треугольника \(\displaystyle PBS{\small }\) к площади квадрата \(\displaystyle ABCD{\small:}\)

\(\displaystyle P=\frac{\color{990033}{S_{PBS}}}{\color{003399}{S_{ABCD}}}{\small.}\)

 

Пусть длина стороны квадрата \(\displaystyle ABCD\) равна \(\displaystyle a{\small,}\) то есть \(\displaystyle AB=BC=CD=AD=a{\small.}\)

Тогда площадь квадрата

\(\displaystyle \color{003399}{S_{ABCD}=a^2}{\small.}\)

Площадь треугольника \(\displaystyle PBS{\small }\) также выразим через \(\displaystyle a{\small.}\)

Имеем:

\(\displaystyle AP=PB=\frac{a}{2}{\small,}\)

\(\displaystyle BQ=QR=RS=SC=\frac{a}{4}{\small.}\)

 

Тогда

\(\displaystyle \color{990033}{S_{PBS}=\frac{3a^2}{16}}{\small.}\)

Получаем, что искомая вероятность равна

\(\displaystyle P=\dfrac{\color{990033}{\dfrac{3a^2}{16}}}{\color{003399}{a^2}}=\dfrac{3a^2}{16a^2}=\dfrac{3}{16}{\small.}\)

 

2. Найдём вероятность того, что случайно выбранная в квадрате \(\displaystyle ABCD\) точка принадлежит многоугольнику \(\displaystyle APSCD{\small .}\)

Эта вероятность равна отношению площади многоугольника \(\displaystyle APSCD\) к площади квадрата \(\displaystyle ABCD{\small:}\)

\(\displaystyle P=\frac{\color{0099cc}{S_{APSCD}}}{\color{003399}{S_{ABCD}}}{\small.}\)
 

\(\displaystyle \color{0099cc}{S_{APSCD}=S_{ABCD}-S_{PBS}{\small}=\frac{13a^2}{16}{\small.}}\)

Вычислим искомую вероятность:

\(\displaystyle P=\dfrac{\color{0099cc}{\dfrac{13a^2}{16}}}{\color{003399}{a^2}}=\dfrac{13a^2}{16a^2}=\dfrac{13}{16}{\small.}\)

Ответ:\(\displaystyle \dfrac{3}{16}{\small}\) и \(\displaystyle \dfrac{13}{16}{\small.}\)