Среди случайно выбранных жителей города провели опрос. У каждого узнали количество детей в семье.
Ниже приведена таблица, составленная по результатам опроса:
| Количество детей в семье | \(\displaystyle 0\) | \(\displaystyle 1\) | \(\displaystyle 2\) | \(\displaystyle 3\) | \(\displaystyle 4\) | \(\displaystyle 5\) | \(\displaystyle 6\) | \(\displaystyle 7\) |
| Количество жителей | \(\displaystyle 8\) | \(\displaystyle 16\) | \(\displaystyle 11\) | \(\displaystyle 6\) | \(\displaystyle 4\) | \(\displaystyle 3\) | \(\displaystyle 1\) | \(\displaystyle 1\) |
Найдите среднее данной выборки:
\(\displaystyle \overline{x}=\)
Найдите дисперсию:
\(\displaystyle S^2=\)
Сначала найдем среднее набора.
Количество опрошенных жителей:
\(\displaystyle 8+16+11+6+4+3+1+1=50\small.\)
Тогда среднее равно:
\(\displaystyle \overline{x}=\frac{0\cdot8+1\cdot16+2\cdot11+3\cdot6+4\cdot4+5\cdot3+6\cdot1+7\cdot1}{50}=\frac{100}{50}=2\small.\)
Теперь вычислим дисперсию.
Напомним определение дисперсии
Дисперсия – среднее арифметическое квадратов отклонений от среднего.
\(\displaystyle S^2=\frac{(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots (x_n-\overline{x})^2}{n}\)
Тогда, чтобы найти дисперсию:
- найдем квадраты отклонений,
- вычислим их среднее.
Найдем квадраты отклонений. Представим результат в виде таблицы:
| Значение \(\displaystyle (x)\) | Отклонение от среднего \(\displaystyle (x-\overline{x})\) | Квадрат отклонения \(\displaystyle (x-\overline{x})^2\) | Количество жителей |
| \(\displaystyle 0\) | \(\displaystyle 0-2=-2\) | \(\displaystyle (-2)^2=4\) | \(\displaystyle 8\) |
| \(\displaystyle 1\) | \(\displaystyle 1-2=-1\) | \(\displaystyle (-1)^2=1\) | \(\displaystyle 16\) |
| \(\displaystyle 2\) | \(\displaystyle 2-2=0\) | \(\displaystyle 0^2=0\) | \(\displaystyle 11\) |
| \(\displaystyle 3\) | \(\displaystyle 3-2=1\) | \(\displaystyle 1^2=1\) | \(\displaystyle 6\) |
| \(\displaystyle 4\) | \(\displaystyle 4-2=2\) | \(\displaystyle 2^2=4\) | \(\displaystyle 4\) |
| \(\displaystyle 5\) | \(\displaystyle 5-2=3\) | \(\displaystyle 3^2=9\) | \(\displaystyle 3\) |
| \(\displaystyle 6\) | \(\displaystyle 6-2=4\) | \(\displaystyle 4^2=16\) | \(\displaystyle 1\) |
| \(\displaystyle 7\) | \(\displaystyle 7-2=5\) | \(\displaystyle 5^2=25\) | \(\displaystyle 1\) |
| Сумма: \(\displaystyle 50\) |
Остается найти среднее арифметическое квадратов отклонений.
Дисперсия равна
\(\displaystyle S^2=\frac{4\cdot8+1\cdot16+0\cdot11+1\cdot6+4\cdot4+9\cdot3+16\cdot1+25\cdot1}{50}=\frac{138}{50}=2{,}76\small.\)
Ответ: \(\displaystyle \overline{x}=2\) и \(\displaystyle S^2=2{,}76\small.\)