Дан числовой набор из \(\displaystyle 5\) чисел:
\(\displaystyle 100,\,\,102,\,\,103,\,\,105,\,\,110{\small. }\)
Найдите дисперсию данного набора.
Чтобы упростить вычисление дисперсии, воспользуемся следущим правилом:
Если все числа набора увеличить или уменьшить на одно и то же число, то дисперсия не изменится.
Из каждого числа исходного набора вычтем \(\displaystyle 100{\small:}\)
\(\displaystyle 100-100,\,\,102-100,\,\,103-100,\,\,105-100,\,\,110-100{\small. }\)
Получили новый числовой набор:
\(\displaystyle 0,\,\,2,\,\,3,\,\,5,\,\,10{\small.}\)
Новый набор удобнее для работы, чем исходный.
Найдём дисперсию нового набора, для чего сначала вычислим его среднее.
Всего в наборе \(\displaystyle 5\) чисел, тогда среднее
\(\displaystyle \overline{x}=\frac{0+2+3+5+10}{5}=\frac{20}{5}=4\small.\)
Напомним определение дисперсии.
Дисперсия – среднее арифметическое квадратов отклонений от среднего.
\(\displaystyle S^2=\frac{(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots (x_n-\overline{x})^2}{n}\)
Тогда, чтобы найти дисперсию:
- найдем квадраты отклонений,
- вычислим их среднее.
Найдем квадраты отклонений. Представим результат в виде таблицы:
| Значение \(\displaystyle (x)\) | Отклонение от среднего \(\displaystyle (x-\overline{x})\) | Квадрат отклонения \(\displaystyle (x-\overline{x})^2\) |
| \(\displaystyle 0\) | \(\displaystyle 0-4=-4\) | \(\displaystyle (-4)^2=16\) |
| \(\displaystyle 2\) | \(\displaystyle 2-4=-2\) | \(\displaystyle (-2)^2=4\) |
| \(\displaystyle 3\) | \(\displaystyle 3-4=-1\) | \(\displaystyle (-1)^2=1\) |
| \(\displaystyle 5\) | \(\displaystyle 5-4=1\) | \(\displaystyle 1^2=1\) |
| \(\displaystyle 10\) | \(\displaystyle 10-4=6\) | \(\displaystyle 6^2=36\) |
Остается найти среднее арифметическое квадратов отклонений, и это будет дисперсия как нового, так и исходного числового набора:
\(\displaystyle S^2=\frac{16+4+1+1+36}{5}=\frac{58}{5}=11{,}6\small.\)
Ответ: \(\displaystyle 11{,}6\small.\)