Воспользуемся формулой квадрата разности.

Для того чтобы в выражении \(\displaystyle x^2-8x+20\) выделить полный квадрат, распишем \(\displaystyle 8x\) так, чтобы удвоенное произведение было записано явно:

\(\displaystyle x^2 - \color{red}{2}\cdot \frac{ 8x}{ \color{red}{2} } +20=x^2 - 2\cdot 4x +20=x^2 - 2\cdot x \cdot 4 +20{\small .}\)

Сравним формулу и выражение \(\displaystyle x^2-2\cdot x \cdot4{\small:}\)

\(\displaystyle \begin{aligned} &\color{blue}{a}^2-\color{red}{2}\cdot \color{blue}{a} \cdot \color{green}{b}+\color{green}{b}^2\\&\color{blue}{x}^2- \color{red}{2}\cdot \color{blue}{x}\cdot \color{green}{4}\,+\,?\end{aligned}\)

Получаем, что \(\displaystyle a=x, \, b=4{\small , }\) и надо добавить к последнему выражению \(\displaystyle \color{green}{b}^2=\color{green}{4}^2=16{\small ,}\) чтобы получить квадрат разности, то есть

\(\displaystyle \begin{aligned} &\color{blue}{a}^2-\color{red}{2}\cdot \color{blue}{a} \cdot \color{green}{b}+\color{green}{b}^2\\&\color{blue}{x}^2 - \color{red}{2}\cdot \color{blue}{x}\cdot \color{green}{4}\,+\,\color{green}{16}{\small .}\end{aligned}\)

Поэтому к выражению \(\displaystyle x^2 - 8x \) прибавим и одновременно вычтем из него число \(\displaystyle {4}^2=16\) так, чтобы в выражении

\(\displaystyle x^2 - 8x + 20\)

получить полный квадрат:

\(\displaystyle (x^2 - 8x +\color{green}{16})-\color{green}{16}+20 = (x^2 - 2\cdot x \cdot 4 + 4^2) +4= (x-4)^2+4{\small .}\)

Для любого \(\displaystyle x\) верно неравенство

\(\displaystyle (x-4)^2\geqslant 0{\small .}\)

Добавив к каждой части неравенства \(\displaystyle 4{\small ,}\) также получим неравенство, верное для любого \(\displaystyle x{\small :}\)
 

\(\displaystyle (x-4)^2+4\geqslant 4{\small .}\)

Но \(\displaystyle 4>0{\small .}\) Получаем, что одновременно

\(\displaystyle (x-4)^2+4\geqslant 4{\small }\) и \(\displaystyle 4>0{\small .}\)

Тогда по свойству транзитивности неравенств

\(\displaystyle (x-4)^2+4>0{\small }\)

для любого \(\displaystyle x{\small .}\)