Гомотетичны ли треугольники \(\displaystyle ABC\) и \(\displaystyle A_1B_1C_1?\) Если гомотетичны, найдите коэффициент гомотетии, переводящей меньший треугольник в больший.
Если треугольники не гомотетичны, введите \(\displaystyle k=0\small.\)
\(\displaystyle k=\)
Проведем прямые \(\displaystyle AA_1,\,BB_1\) и \(\displaystyle CC_1\small.\) Они пересекаются в одной точке, назовем ее \(\displaystyle O\small.\)
Также отметим, что соответственные стороны треугольников параллельны: \(\displaystyle AB\left|\right|A_1B_1,\,BC\left|\right|B_1C_1\) и \(\displaystyle CA\left|\right|C_1A_1\small.\) |  |
Тогда треугольники гомотетичны. Посмотрим на треугольники \(\displaystyle AOB\) и \(\displaystyle A_1OB_1\small.\) Поскольку \(\displaystyle AB||A_1B_1\small,\)то эти треугольники подобны по двум углам: \(\displaystyle \begin{cases}\angle OAB=\angle OA_1B_1\small,\\\angle OBA=\angle OB_1A_1\small.\end{cases}\) Тогда \(\displaystyle \frac{OA_1}{OA}=\frac{OB_1}{OB}=k\small.\) То есть при гомотетии с центром в \(\displaystyle O\) и коэффициентом \(\displaystyle k\)
Аналогично можно показать, что эта гомотетия переводит \(\displaystyle C\) в \(\displaystyle C_1\small.\) \(\displaystyle k=\frac{OA_1}{OA}=\frac{OC_1}{OC}\small.\) |  |
На рисунке легко посчитать длины отрезков \(\displaystyle OC=4\) и \(\displaystyle OC_1=10\small.\) Получаем:
\(\displaystyle k=\frac{OC_1}{OC}=\frac{10}{4}=2{,}5\small.\)
Ответ: треугольники \(\displaystyle ABC\) и \(\displaystyle A_1B_1C_1\) гомотетичны, коэффициент гомотетии \(\displaystyle k=2{,}5\small.\)
Чтобы найти коэффициент подобия, можно было воспользоваться правилом:
При гомотетии с коэффициентом \(\displaystyle k\) многоугольник переходит в подобный многоугольник. При этом коэффициент подобия многоугольников равен \(\displaystyle |k|\small.\)
Тогда
\(\displaystyle k=\frac{B_1C_1}{BC}=\frac{5}{2}=2{,}5\small.\)