Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: 04 Решение задач с использованием гомотетии (короткая версия)

Задание

Информация

Через середины сторон треугольника провели окружность. Найдите, во сколько раз ее радиус меньше радиуса описанной окружности треугольника.

Пусть вершины исходного треугольника \(\displaystyle M,\,N,\,K\small,\) а точка пересечения его медиан \(\displaystyle O\small.\)

Найдите гомотетию с центром в \(\displaystyle O\small,\) переводящую \(\displaystyle MNK\) в треугольник, образованный серединами сторон.

Чему равен коэффициент этой гомотетии?

\(\displaystyle k=\)
-\frac{1}{2}


Используя эту гомотетию, определите отношение радиуса зеленой окружности к радиусу красной.

\(\displaystyle R:r=\)

Решение

Обозначим середины сторон треугольника \(\displaystyle MNK{\small:}\)

  • \(\displaystyle P\) – середина \(\displaystyle MN\small,\)
  • \(\displaystyle T\) – середина \(\displaystyle NK\small,\)
  • \(\displaystyle S\) – середина \(\displaystyle MK\small.\)

 

При гомотетии с центром в \(\displaystyle O\) и коэффициентом \(\displaystyle k=-\frac{1}{2}\) треугольник \(\displaystyle MNK\) переходит в треугольник \(\displaystyle PTS\small.\)

Медианы делятся точкой пересечения в отношении \(\displaystyle 2:1\small,\) считая от вершины треугольника:

  • \(\displaystyle KO=2OP\small,\)
  • \(\displaystyle NO=2OS\small,\)
  • \(\displaystyle MO=2OT\small.\)

Тогда при гомотетии с центром в \(\displaystyle O\) и коэффициентом \(\displaystyle -\frac{1}{2}{\small:}\)

  • \(\displaystyle K\) переходит в \(\displaystyle P\small,\)
  • \(\displaystyle M\) переходит в \(\displaystyle T\small,\)
  • \(\displaystyle N\) переходит в \(\displaystyle S\small.\)

Тогда треугольник \(\displaystyle MNK\) переходит в треугольник \(\displaystyle PTS\small.\)

Значит, при гомотетии с центром в \(\displaystyle O\) и коэффициентом \(\displaystyle k=-\frac{1}{2}{\small:}\)

  • треугольник \(\displaystyle MNK\) переходит в треугольник \(\displaystyle PTS\small,\)
  • окружность через точки \(\displaystyle M,\,N,\,K\) переходит в окружность \(\displaystyle P,\,T,\,S\small.\)

Тогда радиус описанной окружности \(\displaystyle MNK\) в два раза больше радиуса описанной окружности \(\displaystyle PTS{\small:}\)

\(\displaystyle \frac{R}{r}=\frac{2}{1}=2\small.\)

Ответ: \(\displaystyle \frac{R}{r}=2\small.\)