Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: 04 Решение задач с использованием гомотетии (короткая версия)

Задание

Информация

Внутри квадрата \(\displaystyle ABCD\) взяли произвольную точку \(\displaystyle K\small.\) Точки \(\displaystyle M\small,\) \(\displaystyle N\small,\) \(\displaystyle P\) и \(\displaystyle Q\) – точки пересечения медиан треугольников \(\displaystyle ABK\small,\) \(\displaystyle BCK\small,\) \(\displaystyle CDK\) и \(\displaystyle ADK\) соответственно. Найдите длину \(\displaystyle MN\small,\) если \(\displaystyle AB=12\sqrt2\small.\)

Найдите гомотетию с центром в \(\displaystyle K\small,\) переводящую \(\displaystyle MNPQ\) в четырехугольник с вершинами на сторонах \(\displaystyle ABCD\small.\)

Чему равен коэффициент этой гомотетии?

\(\displaystyle k=\)
\frac{3}{2}

 

Найдите стороны получившегося четырехугольника. А затем и стороны \(\displaystyle MNPQ\small.\)

\(\displaystyle MN=\)

Решение

Отметим точки пересечения прямых \(\displaystyle KM,\,KN,\,KP,\,KQ\) со сторонами квадрата \(\displaystyle ABCD\small.\)

При гомотетии с центром в \(\displaystyle K\) и коэффициентом \(\displaystyle k=\frac{3}{2}\) точки \(\displaystyle M,\,Q,\,P,\,N\) переходят в точки \(\displaystyle X,\,Y,\,Z,\,T\small.\)

Точки \(\displaystyle M\small,\) \(\displaystyle N\small,\) \(\displaystyle P\) и \(\displaystyle Q\) – точки пересечения медиан треугольников \(\displaystyle ABK\small,\) \(\displaystyle BCK\small,\) \(\displaystyle CDK\) и \(\displaystyle ADK\small.\)

А медиана делится точкой пересечения в отношении \(\displaystyle 2:1\small.\) Тогда

  • \(\displaystyle KM=2XM\small,\)
  • \(\displaystyle KN=2NY\small,\)
  • \(\displaystyle KP=2PZ\small,\)
  • \(\displaystyle KQ=2QT\small.\)

Значит, при гомотетии с центром в \(\displaystyle K\) и коэффициентом \(\displaystyle k=\frac{3}{2}\) точки \(\displaystyle M,\,Q,\,P,\,N\) переходят в точки \(\displaystyle X,\,Y,\,Z,\,T\small.\)

Четырехугольник \(\displaystyle XYZT\) – квадрат со стороной \(\displaystyle 12\small.\)

Точки \(\displaystyle M\small,\) \(\displaystyle N\small,\) \(\displaystyle P\) и \(\displaystyle Q\) – точки пересечения медиан треугольников \(\displaystyle ABK\small,\) \(\displaystyle BCK\small,\) \(\displaystyle CDK\) и \(\displaystyle ADK\small.\)

Тогда \(\displaystyle X,\,Y,\,Z,\,T\) – середины сторон квадрата \(\displaystyle ABCD\small.\)

То есть получаем четыре равных равнобедренных прямоугольных треугольника:

\(\displaystyle TAX,\,XBY,\,YCZ\) и \(\displaystyle ZDT\small.\)

Катеты этих прямоугольный треугольников равны

\(\displaystyle \frac{AB}{2}=\frac{12\sqrt{2}}{2}=6\sqrt{2}\small.\)

Тогда по теореме Пифагора длина гипотенуз:

\(\displaystyle XY=YZ=ZT=TX=\sqrt{(6\sqrt{2})^2+(6\sqrt{2})^2}=12\small.\)

При гомотетии с центром в \(\displaystyle K\) и коэффициентом \(\displaystyle k=\frac{3}{2}\) отрезок \(\displaystyle MN\) переходит в отрезок \(\displaystyle XY\small.\) Значит,

\(\displaystyle MN=\frac{XY}{k}=12:\frac{3}{2}=8\small.\)

Ответ: \(\displaystyle MN=8\small.\)