Отрезок \(\displaystyle OD\) соединяет центр окружности с серединой \(\displaystyle D\) её хорды \(\displaystyle AB{\small .}\)
Каким фактом следует воспользоваться при доказательстве перпендикулярности отрезков \(\displaystyle OD\) и \(\displaystyle AB{\text ?}\)
Дополните его формулировку.
В треугольнике проведённая к основанию является также
Для того чтобы сделать правильный выбор, проведём доказательство сформулированного утверждения.
Рассмотрим произвольную окружность. Отметим и обозначим её центр \(\displaystyle O{\small .}\)
Хордой называется отрезок, соединяющий две точки окружности.
Отметим две произвольные точки \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B\) на окружности. Соединим их хордой.
Отметим середину \(\displaystyle D\) отрезка \(\displaystyle AB\) и проведём отрезок \(\displaystyle OD\). Отрезки \(\displaystyle AD\) и \(\displaystyle BD\) отметим как равные.
Воспользуемся тем, что точки \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B\) принадлежат окружности. Это значит, что расстояния от них до центра равны: \(\displaystyle OA=OB{\small .}\)
После нанесения равных отрезков на рисунок образуется равнобедренный треугольник \(\displaystyle ABO\) с основанием \(\displaystyle AB{\small .}\)
Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны называется медианой.
В треугольнике \(\displaystyle ABO\) к его основанию проведена медиана \(\displaystyle OD{\small .}\)
Необходимо доказать, что отрезки \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle OD\) перпендикулярны.
Отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне (или её продолжении) и перпендикулярный этой стороне называется высотой.
Значит, задачу решает именно совпадение медианы \(\displaystyle OD\) с высотой.
Ответ: в равнобедренном треугольнике проведённая к основанию медиана является также высотой.