Шесть прямых \(\displaystyle k{\small ,\;}l{\small ,\;}m{\small ,\;}n{\small ,\;}p\) и \(\displaystyle q\) проходят через одну точку и образуют пять отмеченных на рисунке равных углов.
Их пересекают ещё две прямые \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b{\small .}\) Все точки пересечения отмечены и обозначены на рисунке.
Выберите все обозначения точек, от каждой из которых расстояния до прямых \(\displaystyle k\) и \(\displaystyle p\) одинаковы.
Прямые образуют несколько углов. Во внутренней области одного из них расположена большая часть отмеченных точек.
Рассмотрим неразвёрнутый угол, в значении "все точки сторон угла и его внутренней области".
Выберем произвольную точку \(\displaystyle M\) на биссектрисе \(\displaystyle l\) этого угла.
Тогда
- расстояния от точки до сторон угла, измеряемые перпендикулярами к ним, окажутся равными;
- ни одна другая точка угла (с внутренней областью) этим свойством не обладает.
Значит, биссектриса угла является геометрическим местом точек угла (с внутренней областью), равноудалённых от прямых, содержащих стороны угла.
Верно также, что биссектриса угла является геометрическим местом точек угла (с внутренней областью), равноудалённых от сторон этого угла.
Биссектрисой одного из углов, образованных прямыми \(\displaystyle k\) и \(\displaystyle p{ \small ,}\) является луч прямой \(\displaystyle m{\small .}\)
Этот луч проходит во внутренней области угла и образует равные углы с его сторонами: каждый сложен из двух из четырёх равных частей.
Точки \(\displaystyle C\) и \(\displaystyle M{\small ,}\) принадлежащие биссектрисе, согласно её свойству удалены от прямых \(\displaystyle k\) и \(\displaystyle p\) на равные расстояния.
Остальные точки выбранного угла и его внутренней области \(\displaystyle A{\small ,\;}B{\small ,\;}D{\small ,\;}O{\small ,\;}K{\small ,\;}L\) и \(\displaystyle N\) этому условию не соответствуют по тому же свойству.
Эти точки не принадлежат внутренней области рассмотренного угла.
Для них следует отыскать другой угол, образовавшийся при пересечении прямых \(\displaystyle p\) и \(\displaystyle k\small,\) и построить его биссектрису.
Этот угол очевидно больше рассмотренного ранее угла. А луч прямой \(\displaystyle q{\small ,}\) на котором расположены точки, образует с прямой \(\displaystyle p\) угол, меньший половины того угла.
Значит, точки \(\displaystyle P\) и \(\displaystyle E\) на биссектрису не попадают и в ответ задачи не проходят.
Ответ: точки \(\displaystyle C\) и \(\displaystyle M{\small .}\)