Биссектрисы углов \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B\) при боковой стороне \(\displaystyle AB\) трапеции \(\displaystyle ABCD\) пересекаются в точке \(\displaystyle F {\small.}\) Найдите площадь трапеции, если \(\displaystyle AF=8 {\small,}\) \(\displaystyle BF=6 {\small,}\) \(\displaystyle AD=13 {\small,}\) \(\displaystyle BC=7 {\small.}\)
По условию задачи выполним чертёж.
 | \(\displaystyle ABCD\) – трапеция, \(\displaystyle AD=13{\small,}\) \(\displaystyle BC=7\) – основания трапеции, \(\displaystyle AF=8\) – биссектриса угла \(\displaystyle A{\small,}\) \(\displaystyle BF=6\) – биссектриса угла \(\displaystyle B{\small.}\) Требуется найти площадь трапеции \(\displaystyle ABCD{\small.}\) |
Для вычисления площади трапеции необходимо найти высоту \(\displaystyle h{\small.}\)
Выполним дополнительные построения. \(\displaystyle \color{green}{1)}\) Через точку \(\displaystyle F\) построим высоту \(\displaystyle KP=h\) трапеции \(\displaystyle ABCD{\small.}\) \(\displaystyle KP=FK+FP{\small.}\) \(\displaystyle \color{green}{2)}\) Из точки \(\displaystyle F\) опустим перпендикуляр \(\displaystyle FH\) к стороне \(\displaystyle AB{\small.}\) |  |
| \(\displaystyle FH\) – высота треугольника \(\displaystyle ABF{\small.}\) |  |
Получаем
\(\displaystyle KP=2 \cdot FH =2\cdot 4{,}8=9{,}6{\small.}\)
То есть \(\displaystyle h=9{,}6{\small.}\) Тогда
\(\displaystyle S_{ABCD}=10 \cdot h=10 \cdot 9{,}6=96{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle 96{\small.}\)