На плоскости начерчен тупоугольный треугольник \(\displaystyle ABC\) с тупым углом при вершине \(\displaystyle C{\small .}\)
Требуется построить треугольник \(\displaystyle ABD{\small ,}\) в котором отрезок \(\displaystyle BC\) является биссектрисой.
Кроме самого треугольника \(\displaystyle ABC{ \small ,}\) на рисунке показаны две окружности и прямая. Эти фигуры появились в процессе одного из способов построения.
Дополните описание этого построения.
\(\displaystyle 1{\small .}\) Найдём на сторонах угла \(\displaystyle ABC\) два равных отрезка, отложенных от вершины. Получаем точку на пересечении
|
\(\displaystyle 2{\small .}\) Найдём треугольник, равный полученному в прошлом пункте равнобедренному треугольнику. Его угол, равный углу \(\displaystyle ABC{\small ,}\) должен иметь с этим углом общую сторону, чтобы исходный угол удвоился. Получаем точку на пересечении
|
\(\displaystyle 3{\small .}\) Находим на стороне удвоенного угла точку, попадающую на продолжение стороны исходного треугольника. Получаем точку на пересечении
|
Точка \(\displaystyle C\) принадлежит стороне \(\displaystyle AD{\small .}\) Значит, искать вершину \(\displaystyle D\) будем на продолжении отрезка \(\displaystyle AC{\small .}\)
Биссектриса делит угол треугольника на две равные части.
Значит, вершина \(\displaystyle D\) принадлежит стороне угла \(\displaystyle CBD{ \small ,}\) равного углу \(\displaystyle ABC{\small .}\)
То есть для решения задачи нужно отложить от луча \(\displaystyle BC\) угол, равный углу \(\displaystyle ABC{\small .}\) А затем найти точку пересечения получившегося луча с продолжением отрезка \(\displaystyle AC{\small .}\)
Для удвоения угла \(\displaystyle ABC\) построим две окружности.
Центром первой окружности сделаем точку \(\displaystyle B\) а радиусом \(\displaystyle -\) отрезок \(\displaystyle BC{\small .}\)
Эта окружность пересечётся со стороной \(\displaystyle AB\) в точке, которую обозначим буквой \(\displaystyle P{\small .}\)
Центром второй окружности сделаем точку \(\displaystyle C\) а радиусом \(\displaystyle -\) отрезок \(\displaystyle CP{\small .}\)
У проведённых окружностей две общие точки. Одна из них уже обозначена \(\displaystyle P{\small ,}\) а другую обозначим буквой \(\displaystyle K{\small .}\)
В треугольниках \(\displaystyle BCK\) и \(\displaystyle BCP\) по две стороны равны радиусу первой окружности и по одной \(\displaystyle -\) радиусу второй.
Значит, треугольники равны по трём сторонам, а значит угол \(\displaystyle CBK\) равен углу \(\displaystyle CBP{\small .}\)
Угол \(\displaystyle ABC\) удвоен. Искать точку \(\displaystyle D\) следует на луче \(\displaystyle BK{\small .}\)
Проверяем: \(\displaystyle BC~-\) биссектриса треугольника \(\displaystyle ABD{\small .}\) Требуемое построение выполнено.
Заполняем строки описания построения в соответствии со сделанными шагами.
| Ответ: |  |