01Математика - 9 класс. Геометрия - Связь стороны и радиусов вписанной и описанной окружностей

Задание

В правильном многоугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают.

Пусть этот центр – точка \(\displaystyle O\small.\)

Обозначим за \(\displaystyle R\) радиус описанной окружности, а за \(\displaystyle a_n\) – длину стороны правильного \(\displaystyle n\)-угольника.

Выразите \(\displaystyle a_n\) через \(\displaystyle R\) и \(\displaystyle n{\small:}\)

\(\displaystyle a_n=\) Перетащите сюда правильный ответ

Решение

Если провести радиусы ко всем вершинам, то образуется \(\displaystyle n\) углов с центром в \(\displaystyle O\small.\)

То есть они все равны \(\displaystyle \frac{360^{\circ}}{n}\small.\)

В равнобедренном треугольнике \(\displaystyle AOB\) биссектриса, высота и медиана совпадают.

Тогда

треугольник\(\displaystyle AOH\)прямоугольный (с прямым углом\(\displaystyle H\)),
\(\displaystyle \angle AOH=\frac{\angle AOB}{2}=\frac{180^{\circ}}{n}\small,\)
\(\displaystyle AH=\frac{AB}{2}=\frac{a_n}{2}\small.\)

Значит,

\(\displaystyle \frac{a_n}{2}=AH=OA\cdot \sin\left(\frac{180^{\circ}}{n}\right)\small.\)

Подставим \(\displaystyle OA=R\) и выразим \(\displaystyle a_n{\small:}\)

\(\displaystyle a_n=2R \cdot\sin\left(\frac{180^{\circ}}{n}\right)\small.\)

Ответ: \(\displaystyle a_n=2R \cdot\sin\left(\frac{180^{\circ}}{n}\right)\small.\)

Поверните устройство