Пусть в треугольнике \(\displaystyle ABC\)  угол \(\displaystyle C\) равен \(\displaystyle 90^{\circ} {\small,}\) \(\displaystyle AB=82 {\small,}\) \(\displaystyle \angle A=45^{\circ} {\small.}\)

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения длин катетов:

\(\displaystyle S_{\triangle ABC}= \frac{1}{2}\cdot AC \cdot BC {\small.} \)

Сумма острых углов прямоугольного  треугольника равна \(\displaystyle 90^{\circ} {\small.}\) Тогда \(\displaystyle \angle B=90^{\circ}- \angle A=90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ} {\small.}\) Получили  \(\displaystyle \angle A= \angle B {\small.}\) Значит, \(\displaystyle \triangle ABC\) – равнобедренный.  \(\displaystyle AC=BC=\color{red}a {\small.}\)

Тогда

\(\displaystyle S_{\triangle ABC}= \frac{1}{2}\cdot AC \cdot BC =\frac{1}{2}\cdot \color{red}a \cdot \color{red}a= \frac{1}{2}\cdot \color{red}{a}^2 {\small.} \)

По теореме Пифагора

\(\displaystyle AC^2+BC^2=AB^2 {\small,}\)

\(\displaystyle \color{red}{a}^2+\color{red}{a}^2=82^2 {\small,}\)

\(\displaystyle 2 \cdot \color{red}{a}^2=6724 \ \ \ \color{darkviolet}{\bigg|:2} {\small,}\)

 \(\displaystyle \color{red}{a}^2=3362{\small.}\)

Получаем

\(\displaystyle S_{\triangle ABC}= \frac{1}{2}\cdot \color{red}{a}^2= \frac{1}{2}\cdot 3362=1681{\small.} \)

Ответ: \(\displaystyle 1681 {\small.}\)