Катеты прямоугольного треугольника равны \(\displaystyle 15\) и \(\displaystyle 20 {\small.}\) Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.
Пусть в треугольнике \(\displaystyle ABC\) угол \(\displaystyle C\) равен \(\displaystyle 90^{\circ} {\small,}\) \(\displaystyle AC=15 {\small,}\) \(\displaystyle BC=20 {\small,}\)
\(\displaystyle CH=\color{red} {h} \) – высота, проведённая к гипотенузе \(\displaystyle AB{\small.}\)
 | По теореме Пифагора \(\displaystyle AB^2=AC^2+BC^2 {\small,}\) \(\displaystyle AB^2=15^2+20^2=225+400=625=25^2 {\small.}\) Так как длина отрезка не может быть отрицательной, то \(\displaystyle AB=25 {\small.}\) |
Найдем площадь треугольника \(\displaystyle ABC\) двумя способами:
\(\displaystyle 1\) СПОСОБ(через катеты) | \(\displaystyle 2\) СПОСОБ(через гипотенузу и высоту, проведенную к ней) |
\(\displaystyle S_{\triangle ABC}= \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC{\small,} \) \(\displaystyle S_{\triangle ABC}= \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 20 =150 {\small.} \) |
\(\displaystyle S_{\triangle ABC}= \frac{1}{2} \cdot CH \cdot AB {\small,} \) \(\displaystyle S_{\triangle ABC}= \frac{1}{2} \cdot \color{red} {h} \cdot 25=12{,}5 \cdot \color{red} {h}{\small.} \) |
Получаем
\(\displaystyle 150=12{,}5 \cdot \color{red} {h} \ \ \ \color{green}{ \bigg|:12{,}5} {\small,} \)
\(\displaystyle \color{red} {h}=12 {\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle 12 {\small.}\)