\(\displaystyle ABC\) – треугольник: \(\displaystyle D \in AB{\small;}\) \(\displaystyle AD:DB=1:3{\small;}\) \(\displaystyle S_{\triangle ACD}=14{\small.}\) Требуется найти площадь треугольника \(\displaystyle ABC{\small.}\)

Заметим, что у треугольников \(\displaystyle ABC\) и \(\displaystyle ACD\) общая высота \(\displaystyle \color{red}{h}{\small.}\)

Воспользуемся правилом:

Правило

Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания: \(\displaystyle \frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle DBC}}=\frac{AD}{DC}\)

Значит,

\(\displaystyle \frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle ACD}}=\frac{AB}{AD}{\small.}\)

По условию \(\displaystyle AD:DB=1:3{\small,}\) то есть \(\displaystyle AD=t{\small,}\) \(\displaystyle DB=3t{\small.}\) Так как точка \(\displaystyle D\) лежит на отрезке \(\displaystyle AB{\small,}\) то \(\displaystyle AB=AD+DB=t+3t=4t{\small.}\) Тогда \(\displaystyle \frac{AB}{AD}=\frac{4t}{t}=4{\small.}\)

В результате получаем:

\(\displaystyle S_{\triangle ABC}=\frac{AB}{AD} \cdot S_{\triangle ACD}{\small;}\)

\(\displaystyle S_{\triangle ABC}=4 \cdot 14{\small;}\)

\(\displaystyle S_{\triangle ABC}=56{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle S_{\triangle ABC}=56{\small.}\)